Trong không gian Oxyz, cho 3 vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(2;-5;3\right);\overrightarrow{b}=\left(0;2;-1\right);\overrightarrow{c}=\left(1;7;2\right)\)

a) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\)

b) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\)

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2}),\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2})\) và hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Hoàn thành các phép biến đổi sau:

a) \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = ...?\)

b) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = t{b_1}\\{a_2} = t{b_2}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{b_1} = k{a_1}\\{b_2} = k{a_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = ...?\)

c) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow a } \right)}^2}}  = \sqrt {.?.} \)

d) \(\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AB} } \right)}^2}}  = \sqrt {.?.} \)

e) \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{.?.}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}\) (\(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \)  khác \(\overrightarrow 0 \))

Trong không gian Oxyz cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(2;-1;2\right);\overrightarrow{b}=\left(3;0;1\right);\overrightarrow{c}=\left(-4;1;-1\right)\). Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{m}\) và \(\overrightarrow{n}\) biết rằng :

a) \(\overrightarrow{m}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)

b) \(\overrightarrow{n}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}\)

Trong không gian Oxyz cho vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(1;-3;4\right)\)

a) Tìm \(y_0\) và \(z_0\) để cho vectơ \(\overrightarrow{b}=\left(2;y_0;z_0\right)\) cùng phương với \(\overrightarrow{a}\)

b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{c}\) biết rằng \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{c}\) ngược hướng và \(\left|\overrightarrow{c}\right|=2\left|\overrightarrow{a}\right|\)

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto\(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) thỏa |\(\overrightarrow{a}\)| =2; |\(\overrightarrow{b}\)|=1; (\(\overrightarrow{a}\),\(\overrightarrow{b}\))=\(\dfrac{\pi}{3}\). Góc giữa vecto \(\overrightarrow{b}\) và vecto \(\overrightarrow{a}\)-\(\overrightarrow{b}\) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}\) = (1;-2;3) và \(\overrightarrow{b}\) (1;1;-1) . Khẳng định nào dưới đây sai?
A:\(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=3\)
B: \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-4\)
C: \(\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=5\)
D: \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(-1;-4;3\right)\)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy (Hình 18), cho hai vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1},{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\)

a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) theo hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \)

b) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \),\(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \),\(k\overrightarrow u \left( {k \in \mathbb{R}} \right)\) theo hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \)

c) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \),\(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \),\(k\overrightarrow u \left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a →   =   3 ; 2 ; 1 , b →   =   - 2 ; 0 ; 1 . Độ dài của vectơ a → + b →  bằng

A. 2

B. 1

C.  2

D. 3