a/ \(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

b/ \(\frac{a}{a+b^2}=\frac{a}{a\left(a+b+c\right)+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2+a\left(b+c\right)}\le\frac{a}{2ab+a\left(b+c\right)}=\frac{1}{b+b+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b^2}=\frac{1}{b+b+b+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Tương tự: \(\frac{b}{b+c^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)\) ; \(\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Ta có: x² – x – 12 = x² – x – 16 + 4

= (x² – 16) – (x – 4)

= (x – 4).(x + 4) – (x – 4)

= (x – 4).(x + 4 – 1)

= (x – 4).(x + 3)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

Thiết lập tương tự và thu lại ta có :

\(\Rightarrow VP\le4\left(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\frac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\frac{1}{2}=2\sqrt{ab}\)

Thiết lập tương tự và thu lại ta có ;

\(\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)  suy ra

\(VT\ge VP\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Chúc bạn học tốt !!!

Áp dụng bđt Cauchy ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

Thiết lập tương tự và thu lại ta có :

\(\Rightarrow VP\le4\left(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy ta cso :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\frac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\frac{1}{2}=2\sqrt{ab}\)

Thiết lập tương tự và thu lại ta có :

\(\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) 

\(VT\ge VP\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Chúc bạn học tốt !!!

Bài 2 :

Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot\frac{a+b+c}{abc}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot1=4\)

( Do \(a+b+c=abc\) )

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\) (đpcm)

P/s : Cho hỏi bài 1 có a,b,c > 0 không ?

Khuyến mãi thêm bài 1 :))

Áp dụng BĐT AM-GM ta có :

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}\cdot\frac{b^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\) (1)

Tương tự ta có :

\(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\)(2), \(\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\ge\frac{2c}{b}\) (3)

Cộng các vế của BĐT (1) (2) và (3) và chia 2 ta có :

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

1. BĐT ban đầu

<=> \(\left(\frac{1}{3}-\frac{b}{a+3b}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{c}{b+3c}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{a}{c+3a}\right)\ge\frac{1}{4}\)

<=>\(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)

<=> \(\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ac}\ge\frac{3}{4}\)

Áp dụng BĐT buniacoxki dang phân thức 

=> BĐT cần CM

<=> \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{3}{4}\)

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)luôn đúng 

=> BĐT được CM

2) \(a+b+c\le ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-3\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\ge3\)

ko mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)

Có: \(3\le a+b+c\le ab+bc+ca\le3a^2\)\(\Leftrightarrow\)\(3a^2\ge3\)\(\Leftrightarrow\)\(a\ge1\)

=> \(\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\le\frac{3}{1+2a}\le1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)

Bạn @Diệu Linh@ làm nhầm dòng 5 rồi nhé

2, BĐT ban đầu 

<=> \(\left(1-\frac{1}{1+a+b}\right)+\left(1-\frac{1}{1+b+c}\right)+\left(1-\frac{1}{1+a+c}\right)\ge2\)

<=> \(\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b+\left(a+b\right)^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b+c+\left(b+c\right)^2}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c+a+\left(c+a\right)^2}\ge2\)

Dùng BĐT buniacoxki dạng phân thức ở VT 

\(VT\ge\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)+\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}\)

Mà \(a+b+c\le ab+bc+ac\)

=> \(VT\ge\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)+2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)^2}=2\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Xét \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|\)(đpcm)

\(\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b^2a}}=\frac{2}{b}\); \(\frac{b}{c^2}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{c}\); \(\frac{c}{a^2}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{a}\)

Cộng lại:

\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\Rightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

bn tham khảo câu hỏi tương tự nha!

hok tốt!