a) Xét tứ giác OAMC có 

\(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OCM}\) là hai góc đối

\(\widehat{OAM}+\widehat{OCM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: OAMC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a: góc OAM+góc OCM=180 độ

=>OAMC nội tiếp

b: CE//BD

=>góc AKM=góc AEC=góc ACM

=>AKCM nội tiếp

=>A,K,C,M cùng nằm trên 1 đường tròn

=>góc OKM=90 độ

=>K là trung điểm của BD

Xét ΔABM và ΔANB có

góc ABM=góc ANB

góc BAM chung

=>ΔABM đồng dạng với ΔANB

=>AB/AN=AM/AB

=>AB^2=AN*AM

Do \(OB=OE=R\Rightarrow\Delta OBE\) cân tại O

Mà \(OH\perp BE\) (giả thiết) \(\Rightarrow OH\) là đường cao đồng thời là trung trực của BE

Hay OA là trung trực của BE

\(\Rightarrow AB=AE\)

Xét hai tam giác OAB và OAE có: \(\left\{{}\begin{matrix}OB=OE=R\\AB=AE\left(cmt\right)\\OA\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OAB=\Delta OAE\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AEO}=\widehat{ABO}=90^0\Rightarrow AE\) là tiếp tuyến của (O)

a Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

nên AB=AC

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>OA vuông góc với BC

=>OH*OA=OB^2=R^2

b: góc ABM=góc ACM

góc HBM=90 độ-góc OMB=90 độ-góc OBM=góc ABM

=>BM là phân giác của góc ABH

Qua điểm O kẻ 1 đường thẳng vuông góc với dây cung AB tại H => H là trung điểm AB

Ta có: PM và PN là 2 tiếp tuyến từ P kẻ đến (O) => Tứ giác MONP nội tiếp đường tròn.

=> ^ONM = ^OPM (1)

Xét tứ giác MHOP: ^OHP = ^OMP = 90⁰ => Tứ giác MHOP nội tiếp đường tròn

=> ^OPM + ^OHM = 180⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^ONM + ^OHM = 180⁰ => Tứ giác MHON nội tiếp đường tròn.

=> ^HOM= ^HNM (Cùng chắn cung HM) hay ^HOI = ^HNC (3)

Xét tứ giác HOAI: ^OHA = ^OIA = 90⁰ => Tứ giác HOAI nội tiếp đường tròn

=> ^HOI = ^HAI (Cùng chắn cung IH) (4)

Từ (3) và (4) => ^HNC = ^HAI hay ^HNC = ^HAC => Tứ giác ACHN nội tiếp đường tròn.

=> ^AHC = ^ANC = ^ANM (5)

Do tứ giác BMAN nội tiếp (O) => ^ANM = ^ABM (6)

Từ (5) và (6) => ^AHC=^ABM hay ^AHC = ^ABD.

Ta thấy 2 góc trên nằm ở vị trí đồng vị => HC // BD 

Xét tam giác BAD: H là trung điểm AB; HC // BD (C thuộc AD) => C là trung điểm của AD (đpcm).

Xét (O; R):

AB là tiếp tuyến; B là tiếp điểm (gt).

=> OB vuông góc AB (Tính chất tiếp tuyến).

=> Tam giác ABO vuông tại B.

=> A; B; O thuộc đường tròn đường kính OA. (1)

Xét (O; R):

AC là tiếp tuyến; C là tiếp điểm (gt).

=> OC vuông góc AC (Tính chất tiếp tuyến).

=> Tam giác ACO vuông tại C.

=> A; C; O thuộc đường trong đường kính AO. (2)

Từ (1); (2) => A; B; O; C cùng thuộc đường tròn đường kính AO (đpcm).

a: Xét tứ giác ABOC có 

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)

Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp

a: Xét tứ giác ABOC có 

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)

Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp

c: Xét (O) có 

ΔBED nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBED vuông tại E

Xét ΔBAD vuông tại B có BE là đường cao

nên \(AE\cdot AD=AB^2\left(1\right)\)

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)

hay \(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)

Xét ΔAEH và ΔAOD có 

\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)

\(\widehat{HAE}\) chung

Do đó: ΔAEH\(\sim\)ΔAOD

Suy ra: \(\widehat{AHE}=\widehat{ADO}=\widehat{BDE}\)