Bài 5: 

Ta có: \(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\left(BH+9\right)=400\)

\(\Leftrightarrow BH^2+25HB-16HB-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

hay BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC^2=CH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=15\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

* Áp dụng hệ thức : \(AH^2=HB.HC\Rightarrow HB=\dfrac{AH^2}{HC}=\dfrac{144}{16}=9\)cm 

-> BC = HB + HC = 9 + 16 = 25 cm 

Diện tích tam giác ABC là : \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{2}.12.25=150\)cm²

Áp dụng hệ thức lượng:

\(AB^2=BH.CH\Rightarrow BH=\dfrac{AH^2}{CH}=9\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow BC=BH+CH=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=150\left(cm^2\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{144}{16}=9\left(cm\right)\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=\dfrac{12\cdot25}{2}=150\left(cm^2\right)\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-6^2=64\)

=>\(AC=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>AH=48/10=4,8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\)

nên \(\widehat{B}\simeq53^0\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH\cdot10=6^2=36\)

=>BH=36/10=3,6(cm)

ΔAHB vuông tại H

=>\(S_{HAB}=\dfrac{1}{2}\cdot HA\cdot HB=\dfrac{1}{2}\cdot4,8\cdot3,6=8,64\left(cm^2\right)\)

a) Để tính độ dài đường cao \(AH\) và số đo \(\angle B\), chúng ta có thể sử dụng các quy tắc trong tam giác vuông.

Chúng ta biết rằng trong tam giác vuông, độ dài của đường cao \(AH\) từ đỉnh vuông \(A\) xuống cạnh huyền \(BC\) có thể được tính bằng công thức:

\[AH = \frac{1}{2} \times BC\]

Trong trường hợp này:

\[AH = \frac{1}{2} \times 10 \, \text{cm} = 5 \, \text{cm}\]

Số đo của góc \(\angle B\) có thể được tính bằng cách sử dụng hàm tan trong tam giác vuông:

\[\tan B = \frac{AH}{AB}\]

\[\angle B = \arctan\left(\frac{AH}{AB}\right)\]

Trong trường hợp này:

\[\tan B = \frac{5}{6}\]

\[\angle B = \arctan\left(\frac{5}{6}\right)\]

Bạn có thể sử dụng máy tính để tính toán giá trị chính xác của \(\angle B\).

b) Để tính diện tích tam giác \(AHB\), chúng ta sử dụng công thức diện tích tam giác:

\[S_{AHB} = \frac{1}{2} \times \text{độ dài } AH \times \text{độ dài } AB\]

Trong trường hợp này:

\[S_{AHB} = \frac{1}{2} \times 5 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 15 \, \text{cm}^2\]

Vậy, độ dài của đường cao \(AH\) là \(5 \, \text{cm}\), số đo của góc \(\angle B\) có thể được tính, và diện tích tam giác \(AHB\) là \(15 \, \text{cm}^2\).

Vì S_ABC=37,5=>AH.BC=75=>BC=12,5

Đặt cạnh CH=x

=>HB=12,5-x

Áp dụng hệ thức 2 vào tam giác abc

AH²=BH.CH

<=>6²=x(12,5-x)

<=>36=12,5x-x²

<=>x²-12,5x+36=0

<=>(x-6,25)²=3

..............tìm x sau đó thay vào tìm ab,ac

Lời giải:

$BC=BH+CH=25+64=89$ (cm)

Áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AH^2=BH.CH=25.64\Rightarrow AH=40$ (cm)

Diện tích tam giác $ABC$ là: $AH.BC:2=40.89:2=1780$ (cm²)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

           \(AH^2=BH.CH\)

\(\Rightarrow\)\(BH.CH=144\)

           \(BH+CH=BC\)

\(\Rightarrow\)\(BH+CH=25\)

Theo hệ thức Vi-ét thì BH và CH là 2 nghiệm của phương trình:

        \(x^2-25x+144=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-16\right)\left(x-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x-16=0\\x-9=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=16\\x=9\end{cases}}\)

Vậy  \(HC=16\)hoặc  \(HC=9\)

p/s: mk k chắc cho lắm, bn tham khảo nhé

mk chưa hok đến vi ét bạn dùng cách khác đc ko ạ

Cách khác: 

Ta tính được:

\(BH+CH=25\) \(\Rightarrow\)\(BH=25-CH\) (*)

\(BH.CH=144\) (1)

Thay (*) vào (1) ta được:

       \(\left(25-CH\right).CH=144\)

\(\Leftrightarrow\)\(25.CH-CH^2=144\)

\(\Leftrightarrow\)\(CH^2-25.CH+144=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(CH-9\right)\left(CH-16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}CH=9\\CH=16\end{cases}}\)

Lời giải:
$S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{\frac{24}{5}.10}{2}=24$ (cm vuông)

\(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=\dfrac{\dfrac{24}{5}\cdot10}{2}=\dfrac{24}{5}\cdot5=24\left(cm^2\right)\)