I là trung điểm AC \(\Rightarrow C\left(2;-2\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CM}=\left(2;-1\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC có dạng:

\(1\left(x-2\right)+2\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow x+2y+2=0\)

Đường thẳng AB qua A và vuông góc BC nên nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AB:

\(2\left(x+1\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow2x-y+4=0\)

B là giao điểm AB và BC nên tọa độ là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+2=0\\2x-y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(...\right)\)

I là trung điểm BD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=2x_I-x_B=...\\y_D=2y_I-y_B=...\end{matrix}\right.\)

CD: x + 2y – 12 = 0 ⇒ CD nhận  là một vtpt

⇒ CD nhận  là một vtcp.

+ ABCD là hcn ⇒ AD ⊥ CD ⇒ AD nhận  là một vtpt

A(5 ; 1) ∈ AD

⇒ Phương trình đường thẳng AD: 2( x- 5) – 1(y – 1) = 0 hay 2x – y – 9 = 0.

+ ABCD là hcn ⇒ AB // CD ⇒ AB nhận  là một vtpt

A(5;1) ∈ AB

⇒ Phương trình đường thẳng AB: 1( x- 5) + 2(y -1) = 0 hay x + 2y – 7 = 0

+ ABCD là hcn ⇒ BC ⊥ CD ⇒ BC nhận  là một vtpt

C(0, 6) ∈ CD

⇒ Phương trình đường thẳng BC: 2(x- 0)- 1(y – 6) =0 hay 2x – y + 6 = 0.

\(d\left(I;AB\right)=\frac{\left|\frac{1}{2}+2\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow AD=2d\left(I;AB\right)=\sqrt{5}\)và \(AB=2AD=2\sqrt{5}\)

Do đó \(IA=IB=IC=ID=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}\)

Gọi \(\omega\) là đường tròn tâm I, bán kính \(R=IA\) thế thì  \(\omega\)  có phương trình \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{25}{4}\)

Do vậy tọa độ của A, B là nghiệm của hệ :

\(\begin{cases}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{25}{4}\\x-2y+2=0\end{cases}\)

Giải hệ thu được \(A\left(-2;0\right);B\left(2;2\right)\) (do A có hoành độ âm), từ đó , do I là trung điểm của AC và BD suy ra \(C\left(3;0\right);D\left(-1;-2\right)\)

Phương trình đường thẳng qua O và song song AB có dạng: $x-y=0$

$\Rightarrow$ Tọa độ M là nghiệm của hệ: {x+3y−6=0x−y=0{x+3y−6=0x−y=0 $\Rightarrow M\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$

Phương trình đường thẳng BC qua M, nhận $\left(1;1\right)$ là 1 vtpt có dạng:

$1\left(x-\frac{3}{2}\right)+1\left(y-\frac{3}{2}\right)=0\iff x+y-3=0$

Tọa độ B là nghiệm của hệ: {x−y+5=0x+y−3=0{x−y+5=0x+y−3=0 $\Rightarrow B$

M là trung điểm BC $\Rightarrow$ tọa độ C

O là trung điểm AC $\Rightarrow$ tọa độ A

O là trung điểm BD 

a) Hai đoạn thẳng AN và MC song song và bằng nhau vì chúng là hai cạnh đối diện của hình bình hành AMCN.

b) Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

12 × 5 = 60 ( c m 2 )

Vì N là trung điểm của DC nên NC dài :

12 ∶ 6 = 6 cm

Diện tích hình bình hành AMCN là :

6 × 5 = 30( c m 2 )

So với diện tích hình bình hành AMCN thì diện tích hình chữ nhật ABCD gấp: 60 : 20 = 2 lần

Nói thêm : Có thể giải câu b gấp đôi đồ dài đáy hình bình hành.

Chiều rộng hình chữ nhật ABCD gắp đôi bộ dài đáy hình bình hành.

Chiều rộng hình chữ nhật ABCD bằng chiều cao hình bình hành.

Vậy diện tích hình chữ nhật gập đôi diện tích hình bình hành.

Cách 3 :

Đường gấp khúc AMNC chia hình chữ nhật ABCD thành 4 tam giác (vuông) bằng nhau. Hình bình hành AMNC gồm 2 tam giác ấy. Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD gấp đôi diện tích hình bình hành AMCN.

a) Hai đoạn thẳng AN và MC song song và bằng nhau vì chúng là hai cạnh đối diện của hình bình hành AMCN.

b) Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

12 × 5 = 60 (cm2)

Vì N là trung điểm của DC nên NC dài :

12 ∶ 2 = 6 cm

Diện tích hình bình hành AMCN là :

6 × 5 = 30(cm2)

So với diện tích hình bình hành AMCN thì diện tích hình chữ nhật ABCD gấp : 60 : 20 = 2 lần

Nói thêm : Có thể giải câu b gấp đôi đồ dài đáy hình bình hành.

Chiều rộng hình chữ nhật ABCD gắp đôi bộ dài đáy hình bình hành.

Chiều rộng hình chữ nhật ABCD bằng chiều cao hình bình hành.

Vậy diện tích hình chữ nhật gập đôi diện tích hình bình hành.

Cách 3 :

Đường gấp khúc AMNC chia hình chữ nhật ABCD thành 4 tam giác ( vuông) bằng nhau. Hình bình hành AMNC gồm 2 tam giác ấy. Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD gấp đôi diện tích hình bình hành AMCN.