\(A_n=\dfrac{\sqrt{2n-1}}{\left(2n+1\right)\left(2n-1\right)}=\dfrac{\sqrt{2n-1}}{2}\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{2n-1}}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\)

\(< \dfrac{\sqrt{2n-1}}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}\right)\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\)

\(\Rightarrow A_1+A_2+...+A_n< 1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}=1-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}< 1\)

ta chứng minh nó chia hết cho 3 và 8

ai chả bt ngon giải ik 

^^ tự giải

Ta có: \(\orbr{\begin{cases}2n+1=4m+1\forall n⋮2\\2n+1=4m+3\forall n̸⋮2\end{cases}}\)n E N

Nếu 2n + 1 = 4m + 1 

=> 2²ⁿ⁺¹ + 3²ⁿ⁺¹ = 2^4m+1 + 3^4m+1 = ...2 + ...3 = ...5 chia hết cho 5 [theo qui tắc về chữ số tận cùng bạn xem tại https://www.youtube.com/watch?v=p82ydQCe8jg]

Nếu 2n + 1 = 4m + 3

=> 2²ⁿ⁺¹ + 3²ⁿ⁺¹ = 2^4m+3 + 3^{4m + 3} = ...8 + ...7 = ...5 chia hết cho 5 [theo qui tắc về chữ số tận cùng]

Vậy 2²ⁿ⁺¹ + 3²ⁿ⁺¹ chia hết cho 5 với mọi n E N

AI THẤY ĐÚNG NHỚ ỦNG HỘ NHÉ

\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=2n^2-3n-2n^2-2n=-5n\) luôn chia hết cho 5 với mọi \(n\in Z\)

Đặt \(A=n^4-2n^3-n^2+2n\)

\(=n^3\left(n-2\right)-n\left(n-2\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n^3-n\right)\)

\(=\left(n-2\right)\cdot n\cdot\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\)

Vì n-2;n-1;n;n+1 là bốn số nguyên liên tiếp

nên A⋮4!

mà 4!=24

nên A⋮24

=>A⋮12