Tham khảo:

+) \(\left( {{{\rm{p}}_{\rm{n}}}} \right)\) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự \({\rm{ABC}},{{\rm{A}}_1}\;{{\rm{B}}_1}{{\rm{C}}_1}, \ldots \)

Ta có:

 \({{\rm{p}}_2} = {p_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \cdot (3a) = \frac{1}{2} \cdot {p_1}\)

\(\begin{array}{l}{{\rm{p}}_3} = {p_{\Delta {A_2}{B_2}{C_2}}} = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot (3a) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot {p_1}\\ \ldots \\{p_{\Delta {A_n}{B_n}{C_n}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} \cdot {p_1}\\...\end{array}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {p_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}} \cdot (3a)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (3a) = 0.3a = 0.\)

+)\(\left( {{{\rm{S}}_n}} \right)\) là dãy số diện tích của các tam giác theo thứ tự \({\rm{ABC}},{{\rm{A}}_1}\;{{\rm{B}}_1}{{\rm{C}}_1}, \ldots \)

Gọi \(h\) là chiều cao của tam giác \({\rm{ABC}}\) và \({\rm{h}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{{\rm{S}}_3} = {S_{\Delta {A_2}{B_2}{C_2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{h}{4} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} \cdot \left( {\frac{1}{2}ah} \right) = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} \cdot {S_1}\\ \ldots \\{S_{\Delta {A_n}{B_n}{C_n}}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} \cdot {S_1}\\ \ldots \end{array}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{n - 1}} \cdot {S_1}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{2}ah} \right) = 0 \cdot \frac{1}{2}ah = 0\).

b) +) Ta có \(\left( {{{\rm{p}}_{\rm{n}}}} \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({{\rm{p}}_1}\) = 3a và công bội \({\rm{q}} = \frac{1}{2}\) thỏa mãn \(|q| < 1\) có tổng:

\({p_1} + {p_2} +  \ldots  + {p_n} +  \ldots  = \frac{{3a}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 6a\)

+) Ta có \(\left( {{{\rm{S}}_n}} \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({{\rm{S}}_1} = \frac{1}{2}ah\) và công bội \(q = \frac{1}{4}\) thỏa mãn \(|q| < 1\) có tổng:

\({S_1} + {S_2} +  \ldots  + {S_n} +  \ldots  = \frac{{\frac{1}{2}ah}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{2}{3}ah = \frac{2}{3}a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án B

Đáp án: A

Ta có: 

Đường thẳng BC đi qua B và có vecto  là vecto pháp tuyến:

BC: 3(x + 1) - 4(y - 0) = 0 ⇔ 3x - 4y + 3 = 0

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC

Đáp án C

Dựa vào dữ kiện đề bài ta có thể suy ra tổng  S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội 

q = 1 4 ⇒ S = S 1 1 − q = a 3 3 4 . 1 4 1 − 1 4 = a 2 3 12

Đáp án C

Dựa vào dữ kiện đề bài ta có thể suy ra tổng  S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội  q = 1 4 ⇒ S = S 1 1 − q = a 3 3 4 . 1 4 1 − 1 4 = a 2 3 12

Thay tọa độ A vào 2 pt trung tuyến đều không thỏa mãn

\(\Rightarrow\) 2 trung đó đó xuất phát từ B và C, giả sử trung tuyến xuất phát từ B có pt x-2y+1=0 và từ C có pt y=1

\(\Rightarrow B\left(2b-1;b\right)\) ; \(C\left(c;1\right)\)

Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\) G là giao điểm 2 trung tuyến nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(1;1\right)\)

Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}1+2b-1+c=3.1\\3+b+1=3.1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c=3\\b=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-1\\c=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow B\left(-3;-1\right)\) ; \(C\left(5;1\right)\)

Biết 3 tọa độ 3 đỉnh của tam giác, dễ dàng viết được phương trình các cạnh

Đáp án: B

Ta có A(-1;3), B(1;0) và C(2;-1)

Phương trình đường thẳng BC có dạng: (x - 1) + (y - 0) = 0 ⇔ x + y - 1 = 0

Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ điểm C chính bằng khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:

a) Ta có: \(\overrightarrow {{u_{BC}}}  = \overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {3; - 5} \right)\) . Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là: \(3\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y + 1 = 0\).

Độ dài đường cao AK của tam giác \(ABC\) hạ từ đỉnh A là: \(AK = d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 0.5 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {34} }}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {34} \)

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AK.BC = \frac{1}{2}.\frac{4}{{\sqrt {34} }}.\sqrt {34}  = 2\)