Bước 1: Chứng minh tam giác BEF vuông

Vì F là trung điểm AD, ta có AF = FD. Và do tam giác vuông ADE có E nằm trên đường chéo, ta có AE = 3EC. Vậy, tổng các tỉ số các cạnh của tam giác vuông ADE là: AE/EC = AF/FD = 3.

Theo định lý đường phân giác trong tam giác, đường phân giác của một góc trong tam giác chia đôi cạnh đối diện với góc đó theo tỉ lệ của các cạnh. Vì vậy, BE chia FD thành hai phần bằng nhau.

Vì BF là đường phân giác của góc ABD trong tam giác ABE và chia đôi cạnh đối diện (FD), nên BF cũng chia BE thành hai phần bằng nhau.

Do đó, ta có BF = FE.

Bước 2: Chứng minh tam giác BEF cân

Ta đã chứng minh được BF = FE . Và ta đã biết BE = EF vì F là trung điểm của AD. Do đó, ta có BF = FE = BE.

Vậy tam giác BEF là tam giác vuông cân

Ta có MNPQ là hình chữ nhật tâm O => M,N,P,Q cùng thuộc (O;OM)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình vuông

=>AC vuông góc với BD tại trung điểm của mỗi đường và AC=BD

=>AC vuông góc BD tại O, O là trung điểm chung của AC và BD; AC=BD

O là trung điểm chung của AC và BD

=>OA=OC=AC/2 và OB=OD=BD/2

mà AC=BD

nên OA=OC=OB=OD

\(NA=3NC\)

NA+NC=AC

=>3NC+NC=AC

=>4NC=AC

=>\(AC=4NC\)

mà AC=2OC

nên \(2OC=4NC\)

=>OC=2NC

=>N là trung điểm của OC

Gọi K là trung điểm của OD

Xét ΔODC có

N,K lần lượt là trung điểm của OC,OD

=>NK là đường trung bình của ΔODC

=>NK//DC và NK=DC/2

NK//DC

AB//DC

Do đó: NK//AB

\(NK=\dfrac{DC}{2}\)

\(AB=DC\)

\(AM=\dfrac{AB}{2}\)

Do đó: NK=AM

Xét tứ giác AMNK có

AM//NK

AM=NK

Do đó: AMNK là hình bình hành

=>AK//MN

KN//DC

DC\(\perp\)AD

Do đó: NK\(\perp\)AD

Xét ΔADN có

NK,DO là đường cao

NK cắt DO tại K

Do đó: K là trực tâm của ΔADN

=>AK\(\perp\)DN

mà AK//MN

nên DN\(\perp\)MN

=>\(\widehat{DNM}=90^0\)

MN,NP,PQ,QM lần lượt là đtb tam giác ABC,BCD,ACD,ABD

Do đó MN//AC;NP//BD;PQ//AC;QM//BD

Mà AC⊥BD nên MN⊥NP;PQ⊥QM

Do đó \(\widehat{MNP}+\widehat{PQM}=90^0+90^0=180^0\)

Vậy MNPQ nội tiếp (đpcm)