Gọi O là giao điểm của AC và BD
ABCD là hình vuông
=>AC vuông góc với BD tại trung điểm của mỗi đường và AC=BD
=>AC vuông góc BD tại O, O là trung điểm chung của AC và BD; AC=BD
O là trung điểm chung của AC và BD
=>OA=OC=AC/2 và OB=OD=BD/2
mà AC=BD
nên OA=OC=OB=OD
\(NA=3NC\)
NA+NC=AC
=>3NC+NC=AC
=>4NC=AC
=>\(AC=4NC\)
mà AC=2OC
nên \(2OC=4NC\)
=>OC=2NC
=>N là trung điểm của OC
Gọi K là trung điểm của OD
Xét ΔODC có
N,K lần lượt là trung điểm của OC,OD
=>NK là đường trung bình của ΔODC
=>NK//DC và NK=DC/2
NK//DC
AB//DC
Do đó: NK//AB
\(NK=\dfrac{DC}{2}\)
\(AB=DC\)
\(AM=\dfrac{AB}{2}\)
Do đó: NK=AM
Xét tứ giác AMNK có
AM//NK
AM=NK
Do đó: AMNK là hình bình hành
=>AK//MN
KN//DC
DC\(\perp\)AD
Do đó: NK\(\perp\)AD
Xét ΔADN có
NK,DO là đường cao
NK cắt DO tại K
Do đó: K là trực tâm của ΔADN
=>AK\(\perp\)DN
mà AK//MN
nên DN\(\perp\)MN
=>\(\widehat{DNM}=90^0\)
