a: ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot21\cdot28=294\left(cm^2\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\)

mà \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\)

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

b: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=21^2+28^2=1225\)

=>\(BC=\sqrt{1225}=35\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\)

=>\(\dfrac{DB}{15}=\dfrac{DC}{20}\)

=>\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}\)

 mà DB+DC=BC=35cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{35}{7}=5\)

=>\(DB=5\cdot3=15\left(cm\right);DC=4\cdot5=20\left(cm\right)\)

hình vẽ

câu a)

Trong ΔABC, ta có: AD là đường phân giác của (BAC)

Suy ra:  (tính chất đường phân giác)

Mà AB = 21 (cm); AC = 28 (cm)

Nên \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{21}{28}=\dfrac{3}{4}\)

Suy ra:

Suy ra: 

\(S_{ABC}=\dfrac{AB.AC}{2}=\dfrac{21.28}{2}=294\left(cm^2\right)\)

Ta có:\(S_{ABC}=\dfrac{AB.AC}{2}\) mà ta lại có: \(S_{ABC}=\dfrac{AH.BC}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB.AC}{2}=\dfrac{AH.BC}{2}\Rightarrow AB.AC=AH.BC\left(đpcm\right)\)

a. Xét \(2\Delta:\Delta DBA\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BDA}=\widehat{BAC}=90^o\\\widehat{ABC.}chung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta DBA\sim\Delta ABC\left(g-g\right)\)

b. Áp dụng định lý Pi - ta - go, ta có:

\(BC^2=6^2+8^2=100\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)

Có: \(\Delta DBA\sim\Delta ABC\) (theo câu a)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\Leftrightarrow AD=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{6.8}{10}=4,8\left(cm\right)\)

a)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có:

           \(\widehat{B}:chung\)

      \(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HBA\left(g.g\right)\)           \(\left(ĐPCM\right)\)

b)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC. Ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow15^2+20^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC=25\)

Ta có: \(\text{ΔABC ∼ ΔHBA }\)   (cm câu a)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{AH}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{BH}\)

⇔ \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}\)

⇔ \(\dfrac{AH}{20}=\dfrac{15}{25}=\dfrac{BH}{15}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=12\\BH=9\end{matrix}\right.\)

⇒ \(CH=BC-BH=25-9=16\)

a, Xét tứ giác ADHE có : 

^A = ^ADH =  ^HEA = 90⁰

Vậy tứ giác ADHE là hcn 

Vậy AH = DE ( 2 đường chéo bằng nhau ) 

b, Xét tam giác AEH và tam giác AHC có : 

^AEH = ^AHC = 90⁰

^A _ chung 

Vậy tam giác AEH ~ tam giác AHC ( g.g ) 

=> AH/AC = AE/AH => AH^2 = AE.AC (1) 

tương tự với tam giác ADH ~ tam giác AHB (g.g)

=> AD/AH = AH/AB => AH^2=AD.AB (2) 

Từ (1) ; (2) suy ra AE.AC = AD.AB 

c, Xét tam giác ABH và tam giác CAH 

^AHB = ^CHA = 90⁰

^ABH = ^CAH ( cùng phụ ^BAH )

Vậy tam giác ABH ~ tam giác CAH (g.g)

=> AH/CH = BH/AH => AH^2 = BH.CH 

=> CH = AH^2/BH = 144/9 = 16

=> BC = BH + CH = 25 cm 

Diện tích tam giác ABC là : S_{ABC =} 1/2 . AH . BC 

= 1/2 . 12 . 25 = 150 cm²