help mình vs plz

.....

- Với \(n=4\Rightarrow3^3>4.6\) (đúng)

- Giả sử BĐT đã cho đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\) 

- Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay: \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)

Thật vậy, do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\), ta có:

\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k=\left(k^2+4k+3\right)+\left(2k^2+2k-3\right)\)

\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+k+\left(k-3\right)>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)

\(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=C_n^0+C_n^1.\dfrac{1}{n}+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)

\(=1+1+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)

\(=2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}>2\)

Mặt khác:

\(C_n^k.\dfrac{1}{n^k}=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!.n^k}=\dfrac{\left(n-k+1\right)\left(n-k+2\right)...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}< \dfrac{n.n...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{n^k}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{k!}\)

\(< \dfrac{1}{k\left(k-1\right)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\)

Do đó:

\(C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< 2+1=3\) (đpcm)

GIÚP MÌNH VỚI

Bước 1: Chứng minh công thức đúng cho n = 1. Khi n = 1, ta có: 1² = 1 = 1 . (1 + 1) . (2 . 1 + 1) / 6 = 1. Vậy công thức đúng cho n = 1.

Bước 2: Giả sử công thức đúng cho n = k, tức là 1² + 2² + ... + k² = k . (k + 1) . (2k + 1) / 6. Ta cần chứng minh công thức đúng cho n = k + 1, tức là 1² + 2² + ... + k² + (k + 1)² = (k + 1) . (k + 1 + 1) . (2(k + 1) + 1) / 6.

Bước 3: Chứng minh công thức đúng cho n = k + 1. Ta có: 1² + 2² + ... + k² + (k + 1)² = (k . (k + 1) . (2k + 1) / 6) + (k + 1)² = (k . (k + 1) . (2k + 1) + 6(k + 1)²) / 6 = (k . (k + 1) . (2k + 1) + 6(k + 1) . (k + 1)) / 6 = (k + 1) . ((k . (2k + 1) + 6(k + 1)) / 6) = (k + 1) . ((2k² + k + 6k + 6) / 6) = (k + 1) . ((2k² + 7k + 6) / 6) = (k + 1) . ((k + 2) . (2k + 3) / 6) = (k + 1) . ((k + 1 + 1) . (2(k + 1) + 1) / 6).

Vậy, công thức đã được chứng minh đúng cho mọi số tự nhiên n khác 0.

a) Ta có: m^3-m = m(m^2-1^2) = m.(m+1)(m-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp

 => m(m+1)(m-1) chia hết cho 3 và 2

Mà (3,2) = 1

=> m(m+1)(m-1) chia hết cho 6

=> m^3 - m  chia hết cho 6  V m thuộc Z

b) Ta có: (2n-1)-2n+1 = 2n-1-2n+1 = 0-1+1 = 0 luôn chia hết cho 8

=> (2n-1)-2n+1 luôn chia hết cho 8 V n thuộc Z

Tick nha pham thuy trang

a, m³ - m = m( m² - 1²) = m(m - 1 ) ( m + 1) => 3 số nguyên liên tiếp : hết cho 6

mk chỉ biết có thế thôi

công thanh sai rồi số nguyên chứ đâu phải số tự nhiên

* Với n =  1:

  Vế trái của (1) =  1.4 = 4;  vế phải của (1) = 1 . (   1 + 1 ) 2 = 4.

 Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có:  1.4 + 2.7 + ⋅ ⋅ ⋅ + k 3 k + 1 = k k + 1 2   2

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.4 + 2.7 + ⋅ ⋅ ⋅ + k 3 k + 1 + k + 1 3 k + 4 = k + 1 k + 2 2

Thật vậy 1.4 + 2.7 + ⋅ ⋅ ⋅ + k 3 k + 1 ⏟ = k k + 1 2 + k + 1 3 k + 4 = k k + 1 2 + k + 1 3 k + 4  

= ( k + 1 ) .   [ k . ( k + 1 ) ​    + ​ 3 k + ​    4 ] = ( k ​ + ​ 1 ) . ( k 2 + ​​​ 4 k + ​ 4 )    = k + 1 k + 2 2 (đpcm).

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.