Question

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 4 ta có: 3\(^{n-1}\) > n(n+2)

Answer 1

- Với \(n=4\Rightarrow3^3>4.6\) (đúng)

- Giả sử BĐT đã cho đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\) 

- Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay: \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)

Thật vậy, do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\), ta có:

\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k=\left(k^2+4k+3\right)+\left(2k^2+2k-3\right)\)

\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+k+\left(k-3\right)>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)