Nội dung lý thuyết
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên \(n\in N\)* là đúng với mọi \(n\) mà không thể thử trực tiếp được thì ta có thể làm như sau:
Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề đúng với \(n=1\).
Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n=k\ge1\) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với \(n\in N\)* thì
\(1+3+5+...+\left(2n-1\right)=n^2\) (1)
Giải:
Bước 1: Khi \(n=1\), vế trái chỉ có một số hạng là 1, vế phải bằng \(1^2\)
Vậy hệ thức (1) đúng.
Bước 2: Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\ge1\), nghĩa là
\(S_k=1+3+5+...+\left(2k-1\right)=k^2\) (giả thiết quy nạp).
Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với \(n=k+1\), tức là
\(S_{k+1}=1+3+5+...+\left(2k-1\right)+\left[2\left(k+1\right)-1\right]=\left(k+1\right)^2\).
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\(S_{k+1}=S_k+\left[2\left(k+1\right)-1\right]=k^2+2k+1=\left(k+1\right)^2\)
Vậy hệ thức (1) đúng với mọi \(n\in N\)*.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với \(n\in N\)* thì \(n^3-n\) chia hết cho 3.
Giải:
Đặt \(A_n=n^3-n\)
Bước 1: Với \(n=1\), ta có \(A_1=0⋮3\)
Bước 2: Giả sử với \(n=k\ge1\) ta có
\(A_k=\left(k^3-k\right)⋮3\) (giả thiết quy nạp)
Ta chứng minh \(A_{k+1}⋮3\)
Thật vậy ta có:
\(A_{k+1}=\left(k+1\right)^3-\left(k+1\right)=k^2+3k^2+3k+1-k-1\)
\(=\left(k^3-k\right)+3\left(k^2+k\right)\)
\(=A_k+3\left(k^2+k\right)\)
Theo giả thiết quy nạp ta có \(A_k⋮3\), hơn nữa \(3\left(k^2+k\right)⋮3\)
Nên \(A_{k+1}⋮3\)
Vậy \(A_n=n^3-n\) chia hết cho 3 với mọi \(n\in N\)*.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên \(n\ge p\) (\(p\) là một số tự nhiên) thì:
- Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với \(n=p\)
- Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì \(n=k\ge p\) và ta phải chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với \(n=k+1\).
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với \(n\in N\)*, ta có đẳng thức :
\(2+5+8+...+3n-1=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\) (2)
Giải:
Bước 1: Với \(n=1\), vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng \(\dfrac{1\left(3.1+1\right)}{2}=2\)
Vậy hệ thức đúng với \(n=1\).
Bước 2: Đặt vế trái bằng \(S_n\)
Giả sử đẳng thức (2) đúng với \(n=k\ge1\) tức là \(S_k=2+5+8+...+3k-1=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}\) , ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với \(n=k+1\), nghĩa là phải chứng minh :
\(S_{k+1}=2+5+8+...+\left(3\left(k+1\right)-1\right)=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3\left(k+1\right)+1\right)}{2}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
\(S_{k+1}=S_k+3k+2=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+3k+2\)
\(=\dfrac{3k^2+k+6k+4}{2}=\dfrac{3\left(k^2+2k+1\right)+k+1}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3\left(k+1\right)+1\right)}{2}\)
Vậy, theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức trên đúng với mọi \(n\in N\)*.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi \(n\in N\)* ta luôn có : \(n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3.
Giải:
Đặt \(S_n=n^3+3n^2+5n\)
Bước 1: Với \(n=1\) thì \(S_1=9\) chia hết cho 3.
Bước 2: Giả sử với \(n=k\ge1\) , ta có \(S_k=\left(k^3+3k^2+5k\right)\) chia hết cho 3
Ta phải chứng minh rằng \(S_{k+1}\) chia hết cho 3
Thật vậy: \(S_{k+1}=\left(k+1\right)^3+3\left(k+1\right)^2+5\left(k+1\right)\)
\(=k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+5k+5\)
\(=k^3+3k^2+5k+3k^2+9k+9\)
hay \(S_{k+1}=S_k+3\left(k^2+3k+3\right)\)
Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k\) chia hết cho 3, mặt khác \(3\left(k^2+3k+3\right)\) chia hết cho 3 nên \(S_{k+1}\) chia hết cho 3
Vậy với mọi \(n\in N\)* ta luôn có \(S_n=n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3.
Ví dụ 5: Cho tổng \(S_n=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\) với mọi \(n\in N\)*.
a) Tính \(S_1,S_2,S_3\).
b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp
Giải:
a) Ta có \(S_1=\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{1}{2}\) ;
\(S_2=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}=\dfrac{2}{3}\) ;
\(S_3=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}=\dfrac{3}{4}\).
b) Từ câu a) ta dự đoán \(S_n=\dfrac{n}{n+1}\left(1\right)\)với mọi \(n\in N\)*
Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp.
Khi \(n=1\), vế trái là \(S_1=\dfrac{1}{2}\), vế phải là \(\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\) vậy đẳng thức (1) đúng với \(n=1\).
Giả sử đẳng thức (1) đúng với \(n=k\ge1\), tức là \(S_k=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi \(n=k+1\), nghĩa là phải chứng minh \(S_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}\)
Ta có \(S_{k+1}=S_k+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}=\dfrac{k^2+2k+1}{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}=\dfrac{k+1}{k+2}\)
Tức là đẳng thức (1) cũng đúng với \(n=k+1\)
Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.