Chứng minh rằng với mọi n >1 ta có: (n!+1; (n+1)!+1) =1
1.Chứng minh rằng \(2^{2^{6n+2}}+3⋮19\) với ,mọi n\(\in\)N
2.Chứng minh rằng với n>0 ta có 52n-1.22n-15n+1+3n+1.22n-1 chia hết cho 38
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ∗ ta có 11 n + 1 + 12 2 n − 1 chia hết cho 133.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta luôn có:
1/n+1 + 1/n+2 +...+ 1/2*n < 3/4
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 4 ta có: 3\(^{n-1}\) > n(n+2)
- Với \(n=4\Rightarrow3^3>4.6\) (đúng)
- Giả sử BĐT đã cho đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\)
- Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay: \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)
Thật vậy, do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\), ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k=\left(k^2+4k+3\right)+\left(2k^2+2k-3\right)\)
\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+k+\left(k-3\right)>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\ge2\) ta có:
\(2< \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n< 3\)
\(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=C_n^0+C_n^1.\dfrac{1}{n}+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=1+1+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}>2\)
Mặt khác:
\(C_n^k.\dfrac{1}{n^k}=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!.n^k}=\dfrac{\left(n-k+1\right)\left(n-k+2\right)...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}< \dfrac{n.n...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{n^k}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{k!}\)
\(< \dfrac{1}{k\left(k-1\right)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\)
Do đó:
\(C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< 2+1=3\) (đpcm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta luôn có :
1² + 2² + 3² + .... + n² = n . (n+1).(2n+1)/6
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta luôn có :
1² + 2² + 3² + ... + n² = n . ( n + 1 ) . ( 2n + 1 ) / 6
GIÚP EM VỚI Ạ!
Bước 1: Chứng minh công thức đúng cho n = 1. Khi n = 1, ta có: 1² = 1 = 1 . (1 + 1) . (2 . 1 + 1) / 6 = 1. Vậy công thức đúng cho n = 1.
Bước 2: Giả sử công thức đúng cho n = k, tức là 1² + 2² + ... + k² = k . (k + 1) . (2k + 1) / 6. Ta cần chứng minh công thức đúng cho n = k + 1, tức là 1² + 2² + ... + k² + (k + 1)² = (k + 1) . (k + 1 + 1) . (2(k + 1) + 1) / 6.
Bước 3: Chứng minh công thức đúng cho n = k + 1. Ta có: 1² + 2² + ... + k² + (k + 1)² = (k . (k + 1) . (2k + 1) / 6) + (k + 1)² = (k . (k + 1) . (2k + 1) + 6(k + 1)²) / 6 = (k . (k + 1) . (2k + 1) + 6(k + 1) . (k + 1)) / 6 = (k + 1) . ((k . (2k + 1) + 6(k + 1)) / 6) = (k + 1) . ((2k² + k + 6k + 6) / 6) = (k + 1) . ((2k² + 7k + 6) / 6) = (k + 1) . ((k + 2) . (2k + 3) / 6) = (k + 1) . ((k + 1 + 1) . (2(k + 1) + 1) / 6).
Vậy, công thức đã được chứng minh đúng cho mọi số tự nhiên n khác 0.
a, Chứng minh rằng với mọi m thuộc Z ta luôn có m3 - m chia hết cho 6 .
b, Chứng minh rằng với mọi n thuộc Z ta luôn có ( 2n - 1 ) - 2n + 1 chia hết cho 8
a) Ta có: m^3-m = m(m^2-1^2) = m.(m+1)(m-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp
=> m(m+1)(m-1) chia hết cho 3 và 2
Mà (3,2) = 1
=> m(m+1)(m-1) chia hết cho 6
=> m^3 - m chia hết cho 6 V m thuộc Z
b) Ta có: (2n-1)-2n+1 = 2n-1-2n+1 = 0-1+1 = 0 luôn chia hết cho 8
=> (2n-1)-2n+1 luôn chia hết cho 8 V n thuộc Z
Tick nha pham thuy trang
a, m3 - m = m( m2 - 12) = m(m - 1 ) ( m + 1) => 3 số nguyên liên tiếp : hết cho 6
mk chỉ biết có thế thôi
công thanh sai rồi số nguyên chứ đâu phải số tự nhiên
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:
1.4 + 2.7 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 3 n + 1 = n n + 1 2 (1)
* Với n = 1:
Vế trái của (1) = 1.4 = 4; vế phải của (1) = 1 . ( 1 + 1 ) 2 = 4.
Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1). Vậy (1) đúng với n = 1.
* Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có: 1.4 + 2.7 + ⋅ ⋅ ⋅ + k 3 k + 1 = k k + 1 2 2
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:
1.4 + 2.7 + ⋅ ⋅ ⋅ + k 3 k + 1 + k + 1 3 k + 4 = k + 1 k + 2 2
Thật vậy 1.4 + 2.7 + ⋅ ⋅ ⋅ + k 3 k + 1 ⏟ = k k + 1 2 + k + 1 3 k + 4 = k k + 1 2 + k + 1 3 k + 4
= ( k + 1 ) . [ k . ( k + 1 ) + 3 k + 4 ] = ( k + 1 ) . ( k 2 + 4 k + 4 ) = k + 1 k + 2 2 (đpcm).
Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.