1) Trong đầm gì đẹp bằng sen,

Lá xanh bông trắng, lại chen nhụy vàng

Nhụy vàng, bông trắng, lá xanh,

Gần bùn mà chẳng hôi tanh mùi bùn

2) Hoa thơm mỗi người một tí

3) Bông chi thơm lạ thơm lùng, thơm cây thơm rể, người trồng cũng thơm

Được hoa mừng hoa, được nụ mừng nụ

Vì N, H, M thẳng hàng nên để chứng minh NM là phân giác góc DNI, chỉ cần chứng minh NH là phân giác góc DNI.

Do H thuộc DI, theo định lí phân giác trong tam giác DNI, chỉ cần chứng minh
ND/NI = DH/HI. (1)

Ta sẽ tính tỉ số DH/HI trước.

Xét tứ giác AEHF nội tiếp. Vì I là giao điểm của AH và EF nên
IA.IH = IE.IF. (2)

Mặt khác:

Ta có
∠AEI = ∠AEF = ∠AHF = ∠IHF,
và
∠AIE = ∠HIF.
Suy ra tam giác AEI đồng dạng tam giác HFI.

Do đó
AI/FI = AE/HF. (3)

Tương tự,
∠AFI = ∠AFE = ∠AHE = ∠IHE,
và
∠AIF = ∠HIE.
Suy ra tam giác AFI đồng dạng tam giác HEI.

Do đó
AI/EI = AF/HE. (4)

Nhân (3) và (4), rồi dùng (2), được
AI²/(FI.EI) = (AE.AF)/(HF.HE)

nên
AI/IH = (AE.AF)/(HF.HE). (5)

Bây giờ ta tính hai tỉ số AE/EH và AF/FH.

Ta có
∠AEB = ∠CEH = 90 độ,
∠ABE = ∠ECH.
Suy ra tam giác ABE đồng dạng tam giác CEH.

Vậy
AE/EH = AB/CH. (6)

Lại có
∠ADB = ∠CDH = 90 độ,
∠ABD = ∠CHD.
Suy ra tam giác ABD đồng dạng tam giác CHD.

Vậy
AB/CH = AD/DC. (7)

Từ (6) và (7),
AE/EH = AD/DC. (8)

Tương tự,
từ tam giác ACF đồng dạng tam giác BFH và tam giác ACD đồng dạng tam giác BHD, ta được
AF/FH = AD/DB. (9)

Thế (8) và (9) vào (5):
AI/IH = (AD/DC).(AD/DB) = AD²/(DB.DC). (10)

Mặt khác, từ tam giác ACD đồng dạng tam giác BHD ta còn có
AD/DC = DB/DH
suy ra
AD.DH = DB.DC. (11)

Từ (10) và (11),
AI/IH = AD/DH. (12)

Đến đây, đặt
DH = h, AD = a, DM = t
với 0 < h < a.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho
D(0,0), A(0,a), H(0,h), M(t,0).

Vì I nằm trên AD nên gọi I = (0,u).
Từ (12):
AI/IH = AD/DH
tức là
(a-u)/(u-h) = a/h.

Giải ra được
u = 2ah/(a+h).

Vậy
I = (0, 2ah/(a+h)).

Đường thẳng HM có phương trình
hx + ty - ht = 0.

N là hình chiếu vuông góc của A lên HM nên
N = ( ht(h-a)/(h²+t²) , h(ah+t²)/(h²+t²) ).

Suy ra
ND² = h²(a²+t²)/(h²+t²),
NI² = h²(a-h)²(a²+t²)/((a+h)²(h²+t²)).

Do đó
ND/NI = (a+h)/(a-h). (13)

Mà
HI = 2ah/(a+h) - h = h(a-h)/(a+h),

nên
DH/HI = h / ( h(a-h)/(a+h) ) = (a+h)/(a-h). (14)

Từ (13) và (14),
ND/NI = DH/HI.

Theo định lí phân giác trong tam giác DNI, suy ra NH là phân giác góc DNI.

Vì N, H, M thẳng hàng nên NM cũng là phân giác góc DNI.

Đpcm.

Đặt hệ trục tọa độ sao cho:
D là gốc tọa độ,
BC trùng trục Ox,
AD trùng trục Oy.

Khi đó đặt
B(-m,0), D(0,0), C(n,0), A(0,h)
với m = BD > 0, n = DC > 0, h = AD > 0.

Suy ra:
AB² = m² + h²,
AC² = n² + h².

Ta cũng có A, D, E thẳng hàng.

a) Chứng minh E, D, B, K cùng thuộc một đường tròn

Vì AD là đường cao nên AD ⟂ BC.
Mà E, D, A thẳng hàng và B, D, C thẳng hàng, nên
ED ⟂ DB
suy ra ∠EDB = 90°.

Lại do K là chân đường vuông góc từ E xuống AB, nên
EK ⟂ AB.
Mà B, K, A thẳng hàng, nên
EK ⟂ KB
suy ra ∠EKB = 90°.

Vậy
∠EDB = ∠EKB = 90°.
Suy ra D và K cùng nằm trên đường tròn đường kính EB.
Do đó bốn điểm E, D, B, K cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh EA là tia phân giác của góc CEK và AB.AC = AE.AS

b1) Chứng minh EA là tia phân giác của góc CEK

Vì A, B, C, E cùng thuộc đường tròn (O), nên hai góc nội tiếp chắn cùng cung CA bằng nhau:
∠CEA = ∠CBA.

Mặt khác,
AE ⟂ BC và EK ⟂ AB.
Vì vậy góc tạo bởi AE và EK bằng góc tạo bởi BC và BA, tức là
∠AEK = ∠CBA.

Suy ra
∠CEA = ∠AEK.

Vậy EA là tia phân giác của góc CEK.

b2) Chứng minh AB.AC = AE.AS

Trước hết ta xác định tọa độ điểm E.

Áp dụng định lý về lực của điểm D đối với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
DB.DC = DA.DE.

Tức là
m.n = h.DE
nên
DE = mn/h.

Vì E nằm trên tia đối của DA nên
E(0, -mn/h).

Suy ra
AE = AD + DE = h + mn/h = (h² + mn)/h.

Bây giờ xác định điểm S.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì O nằm trên đường trung trực của BC nên
xO = (n - m)/2.

Lại có OA = OB, nên nếu gọi O((n-m)/2, yO) thì:
((n-m)/2)² + (yO - h)² = ((n+m)/2)² + yO².

Rút gọn được:
yO = (h² - mn)/(2h).

Vậy
O((n-m)/2, (h² - mn)/(2h)).

Đường thẳng AO cắt BC tại S, mà BC là trục Ox nên S có tung độ bằng 0.

Hệ số góc của AO là:
[(h² - mn)/(2h) - h] / [(n-m)/2]
= -(h² + mn)/(h(n-m)).

Do đó phương trình AO là:
y - h = -(h² + mn)/(h(n-m)) . x.

Cho y = 0, ta được:
-h = -(h² + mn)/(h(n-m)) . xS
suy ra
xS = h²(n-m)/(h² + mn).

Vậy
S(h²(n-m)/(h² + mn), 0).

Bây giờ tính AS:
AS² = h² + [h²(n-m)/(h² + mn)]²
= h² + h^4(n-m)²/(h² + mn)²
= h²[(h² + mn)² + h²(n-m)²]/(h² + mn)².

Khai triển tử số:
(h² + mn)² + h²(n-m)²
= h^4 + 2h²mn + m²n² + h²(n² - 2mn + m²)
= h^4 + h²m² + h²n² + m²n²
= (h² + m²)(h² + n²).

Vậy
AS² = h²(h² + m²)(h² + n²)/(h² + mn)²
= h².AB².AC²/(h² + mn)².

Vì các độ dài đều dương nên
AS = h.AB.AC/(h² + mn).

Nhân với AE:
AE.AS = (h² + mn)/h . h.AB.AC/(h² + mn)
= AB.AC.

Do đó
AB.AC = AE.AS.

c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và I là trung điểm của AB. Chứng minh SI vuông góc với HK

Ta tiếp tục dùng hệ trục trên.

Vì AD là đường cao nên H thuộc trục Oy, tức là H có hoành độ 0.

Mặt khác AC có hệ số góc là
(0 - h)/(n - 0) = -h/n.
Vậy đường cao qua B có hệ số góc n/h.

Phương trình đường cao qua B là:
y = (n/h)(x + m).

Cho x = 0, ta được tung độ của H:
yH = mn/h.

Suy ra
H(0, mn/h).

Vì I là trung điểm của AB nên
I(-m/2, h/2).

Bây giờ tìm tọa độ K.

Do K thuộc AB nên tồn tại số t sao cho
K = B + t(A - B).

Vì
A - B = (m, h),
nên
K = (-m + mt, ht).

Lại có EK ⟂ AB, nên
(E - K).(A - B) = 0.

Ta có
E - K = (m - mt, -mn/h - ht) = (m(1-t), -mn/h - ht).

Do đó
m(1-t).m + (-mn/h - ht).h = 0
suy ra
m²(1-t) - mn - h²t = 0
suy ra
m² - mn - t(m² + h²) = 0
suy ra
t = m(m-n)/(m² + h²).

Vậy
K = (-m + m.m(m-n)/(m²+h²), h.m(m-n)/(m²+h²))
= (-m(h² + mn)/(m² + h²), hm(m-n)/(m² + h²)).

Bây giờ xét các vectơ chỉ phương của HK và SI.

Ta có
HK = K - H
= (-m(h² + mn)/(m² + h²), hm(m-n)/(m² + h²) - mn/h).

Rút gọn tung độ:
hm(m-n)/(m² + h²) - mn/h
= [h²m(m-n) - mn(m² + h²)] / [h(m² + h²)]
Ta tính đúng:
h²m(m-n) - mn(m² + h²)
= h²m² - h²mn - m³n - mh²n
= h²m² - 2h²mn - m³n
= m(h²m - 2h²n - m²n).

Vậy
HK = m/(m² + h²) . (-(h² + mn), (h²m - 2h²n - m²n)/h).

Do đó một vectơ chỉ phương của HK là
u = (-(h² + mn), (h²m - 2h²n - m²n)/h).

Tiếp theo,
SI = I - S
= (-m/2 - h²(n-m)/(h² + mn), h/2).

Rút gọn hoành độ:
-m/2 - h²(n-m)/(h² + mn)
= [-m(h² + mn) - 2h²(n-m)] / [2(h² + mn)]
= [h²m - 2h²n - m²n] / [2(h² + mn)].

Vậy
SI = 1/[2(h² + mn)] . (h²m - 2h²n - m²n, h(h² + mn)).

Do đó một vectơ chỉ phương của SI là
v = (h²m - 2h²n - m²n, h(h² + mn)).

Xét tích vô hướng:
u.v
= (-(h² + mn))(h²m - 2h²n - m²n)

Suy ra
HK ⟂ SI.

Vậy ta đã chứng minh được
SI vuông góc với HK.

Kết luận:
a) E, D, B, K cùng thuộc một đường tròn.
b) EA là tia phân giác của góc CEK và AB.AC = AE.AS.
c) SI vuông góc với HK.

Ví dụ và phân tích về hoạt động sống của sinh vật làm thay đổi môi trường sống của chúng Ví dụ: Giun đất sống trong đất. Phân tích: Trong quá trình sống, giun đất đào hang để di chuyển và kiếm ăn. Hoạt động đào hang làm cho đất tơi xốp hơn, thoáng khí hơn. Phân giun còn làm tăng độ màu mỡ của đất. Nhờ đó, môi trường đất nơi giun sống bị thay đổi theo hướng thuận lợi hơn không chỉ cho giun mà còn cho nhiều sinh vật khác và cho cây trồng. Có thể thấy: chính hoạt động sống của sinh vật có thể làm biến đổi môi trường sống của chúng. Phân biệt các nhóm nhân tố sinh thái Nhân tố sinh thái là những yếu tố của môi trường tác động đến đời sống sinh vật. Có 2 nhóm chính: a) Nhân tố vô sinh Là các yếu tố không sống của môi trường. Ví dụ: ánh sáng, nhiệt độ, nước, độ ẩm, đất, gió, không khí. Đặc điểm: Tác động trực tiếp đến sinh trưởng, phát triển, sinh sản và phân bố của sinh vật. b) Nhân tố hữu sinh Là các yếu tố sống trong môi trường. Bao gồm: con người, động vật, thực vật, vi sinh vật và các sinh vật khác. Đặc điểm: Các sinh vật tác động qua lại lẫn nhau như hỗ trợ, cạnh tranh, ăn thịt, ký sinh, cộng sinh,... Tóm lại: Vô sinh: yếu tố không sống. Hữu sinh: yếu tố sống.

Lá mọc so le giúp:

Trong tự nhiên, các nhân tố sinh thái không tác động riêng lẻ mà thường tác động đồng thời, kết hợp với nhau lên sinh vật.

Sự tác động đó có thể:

Ví dụ:

Kết luận:
Các nhân tố sinh thái luôn tác động đồng thời và chi phối đời sống sinh vật trong tự nhiên.

a: Thay x=9 vào A, ta được:

\(A=\frac{\sqrt9-2}{\sqrt9+1}=\frac{3-2}{3+1}=\frac14\)

b: \(B=\frac{5}{\sqrt{x}+2}+\frac{1}{2-\sqrt{x}}+\frac{x+16}{x-4}\)

\(=\frac{5}{\sqrt{x}+2}-\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{x+16}{x-4}\)

\(=\frac{5\left(\sqrt{x}-2\right)-\sqrt{x}-2+x+16}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{5\sqrt{x}-10+x-\sqrt{x}+14}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{x+4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\)