a: ta có: ABCD là hình chữ nhật

=>AB//CD và AB=CD

BA//CD

=>AB//CI

Ta có: AB-CD

CD=CI

Do đó: AB=CI

Xét tứ giác ABIC có

AB//IC

AB=IC

Do đó: ABIC là hình bình hành

b: ABIC là hình bình hành

=>AI cắt BC tại trung điểm của mỗi đường

mà E là trung điểm của BC

nên E là trung điểm của AI

=>A,E,I thẳng hàng

c: ABCD là hình chữ nhật

=>AC=BD(1)

ABIC là hình bình hành

=>AC=BI(2)

Từ (1),(2) suy ra BD=BI

ABCD là hình chữ nhật

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔBDI có

C,M lần lượt là trung điểm của ID,IB

=>CM là đường trung bình của ΔBDI

=>CM//BD và \(CM=\frac{BD}{2}\)

Ta có: CM//BD

=>CM//BO

Ta có: \(CM=\frac{BD}{2}\)

\(BO=\frac{BD}{2}\)

Do đó: CM=BO

Ta có: \(BO=\frac{BD}{2}\) (O là trung điểm của BD)

\(BM=\frac{BI}{2}\) (M là trung điểm của BI)

mà BD=BI

nên BO=BM

Xét tứ giác BOCM có

CM//BO

CM=BO

Do đó: BOCM là hình bình hành

Hình bình hành BOCM có BO=BM

nên BOCM là hình thoi

d: Hình thoi BOCM trở thành hình vuông khi \(\hat{OB}M=90^0\)

=>\(\hat{DBI}=90^0\)

=>ΔBDI vuông cân tại B

=>\(\hat{BDC}=45^0\)

Xét ΔCBD vuông tại C có \(\hat{CDB}=45^0\)

nên ΔCBD vuông cân tại C

=>CB=CD

a:

Xét ΔABC vuông tại A có tan ABC=\(\frac{AC}{AB}\)

=>\(AB=\frac{AC}{\tan60}=\frac{10}{\tan60}=\frac{10}{\sqrt3}=\frac{10\sqrt3}{3}\) (cm)

Xét tứ giác ADHB có \(\hat{ADB}=\hat{AHB}=90^0\)

nên ADHB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB

=>A,D,H,B cùng thuộc đường tròn đường kính AB

Bán kính là \(\frac{AB}{2}=\frac{5\sqrt3}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔBAK vuông tại A có AD là đường cao

nên \(BD\cdot BK=BA^2\left(1\right)\)

Xét ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BD\cdot BK=BH\cdot BC\)

=>\(\frac{BD}{BC}=\frac{BH}{BK}\)

Để 15 : (n + 2) là phép chia hết thì:

15 ⋮ (n + 2)

⇒ n + 2 ∈ Ư(15) = {-15; -5: -3; -1; 1; 3; 5; 15}

⇒ n ∈ {-17; -7; -5; -3; -1; 1; 3; 13}

25 x 12 + 75 x 12

= 12 x (75 + 25)

= 12 x 100

= 1200