Bài làm:

a) Trong \(\Delta ABC\)có:

           AD = BD (gt)

           AF = CF  (gt)

\(\Rightarrow\)FD là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)FD // BC và FD = \(\frac{1}{2}\)BC

Mà E là trung điểm của đoạn thẳng BC (gt)

\(\Rightarrow\)FD//CE và FD = CE

\(\Rightarrow\)Tứ giác DECF là hình bình hành

b) Ta có hình bình hành DECF là hình chữ nhật khi \(\widehat{C}\)= 90^o

\(\Leftrightarrow AC\perp BC\)

Vậy tam giác ABC vuông tại C thì tứ giác DECF là hình chữ nhật

c) Trong hình bình hành DECF có: DE = CF

Mà CF = AF (gt)

\(\Rightarrow\)DE = CF = AF = 13 cm

Mặt khác AC = AF + CF

\(\Rightarrow\)AC = 13 + 13 = 26 cm

Áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta ACH\)vuông tại H ta có:

     AC² = AH² + CH²

\(\Rightarrow\)CH² = AC² - AH²

Thay CH² = 26² - 10²

\(\Rightarrow\)CH² = 676 - 100

\(\Rightarrow\)CH² = 576

\(\Rightarrow\)CH = \(\sqrt{576}\)= 24

Vậy diện tích tam giác ACH là : \(\frac{1}{2}.10.24=120\left(cm^2\right)\)

d) Hình bình hành DECF có DF//CE

\(\Rightarrow\)DF//HE

\(\Rightarrow\)DFHE là hình thang      (1)

Trong \(\Delta ABC\)có:

   AD = BD (gt)

   BE = CE (gt)

\(\Rightarrow\)DE là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)DE = \(\frac{1}{2}\)AC      (2)

Trong \(\Delta ACH\)vuông tại H có: AF = CF (gt)

\(\Rightarrow\)HF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

\(\Rightarrow\)HF = \(\frac{1}{2}\)AC    (3)

Từ (2) và (3)\(\Rightarrow\)DE = HF       (4)

Từ (1) và (4)\(\Rightarrow\)DFHE là hình thang cân

Tuong tự như bài này bạn nhé!

a) Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB(gt)

F là trung điểm của AC(gt)

Do đó: DF là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒DF//BC và \(DF=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà E∈BC và \(EC=\dfrac{BC}{2}\)(E là trung điểm của BC)

nên DF//EC và DF=EC

Xét tứ giác DECF có 

DF//EC(cmt)

DF=EC(cmt)

Do đó: DECF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Hình bình hành DECF trở thành hình chữ nhật khi \(\widehat{FCE}=90^0\)

hay \(\widehat{ACB}=90^0\)

Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện \(\widehat{ACB}=90^0\) thì tứ giác DECF là hình chữ nhật

c) Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB(gt)

E là trung điểm của BC(gt)

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒DE//AC và \(DE=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC)

mà HF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(F là trung điểm của AC)

nên \(HF=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Từ (1) và (2) suy ra DE=HF

Ta có: DF//BC(cmt)

mà H∈BC(gt)

và E∈BC(E là trung điểm của BC)

nên HE//DF

Xét tứ giác DFEH có 

DF//HE(cmt)

nên DFEH là hình thang có hai đáy là DF và HE(Định nghĩa hình thang)

Hình thang DFEH(DF//HE) có DE=HF(cmt)

nên DFEH là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)