Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d:  x 2 − m x + 2 = 0 (1)

P) cắt d tại hai điểm phân biệt A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂) ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆ = m² – 4.2 > 0 ⇔ m² > 8 ⇔ m > 2 2  hoặc m<- 2 2

Khi đó x₁, x₂ là nghiệm của (1). Áp dụng định lí Vi–ét ta có x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = 2.

Do A, B ∈ d nên y₁ = mx₁ – 2 và y₂ = mx₂ – 2.

Ta có:

  y 1 + y 2 = 2 ( x 1 + x 1 ) − 1 < = > m x 1 − 2 + m x 2 − 2 = 2 ( x 1 + x 2 ) − 1 < = > ( m − 2 ) ( x 1 + x 2 ) − 3 = 0 < = > m ( m − 2 ) − 3 = 0 < = > m 2 − 2 m − 3 = 0

⇔ m = –1 (loại) hoặc m = 3 (thỏa mãn)

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

Đáp án A

PTHĐGĐ là;

x^2-3x-m^2+1=0

Δ=(-3)^2-4(-m^2+1)=4m^2-4+9=4m^2+5>0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

TH1: x1>0; x2>0

=>x1+2x2=3

mà x1+x2=3

nên x1=1; x2=1

x1*x2=-m^2+1

=>-m^2+1=1

=>m=0

TH2: x1<0; x2>0

=>-x1+2x2=3 và x1+x2=3

=>x1=1; x2=2

x1*x2=-m^2+1

=>-m^2+1=2

=>-m^2-1=0(loại)

TH2: x1>0; x2<0

=>x1-2x2=0 va x1+x2=3

=>x1=2 và x2=1

x1*x2=-m^2+1

=>-m^2+1=2

=>-m^2=1(loại)

TH3: x1<0; x2<0

=>-x1-2x2=3 và x1+x2=3

=>x1=9 và x2=-6

x1*x2=-m^2+1

=>-m^2+1=-54

=>-m^2=-55

=>\(m=\pm\sqrt{55}\)

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P)

           \(x^2 = 2(m+1)x - 4\)

     \(<=> x^2 -2(m+1) + 4 = 0\) (1)

có \(\Delta' = [-(m+1)]^2 -4\)

\(\Delta' = (m+1)^2- 4\)

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

<=> Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

<=> \(\Delta' \)> 0

<=> \((m + 1)^2 - 4 >0\)

<=> \((m+1)^2 >4\)

<=> \(\left[ \begin{array}{l}m+1 > 2\\m+1 <- 2\end{array} \right. \)

\(<=> \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < -3\end{array} \right. \)

b) Vì x₁;x₂ là hoành độ giao điểm của (d) và (P)

nên x₁;x₂ là hai nghiệm của phương trình (1)
Áp dụng hệ thức Viet có x₁ + x₂ = 2(m+1)

                                        x₁x₂ = 4

Mà \(\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2} = 2\)(x₁;x₂ \(\geq \) 0)

=> \((\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2})^2 = 4\)

<=> x₁ - 2x₁x₂ + x₂ = 4

<=> (x₁ + x₂) - 2x₁x₂=4

<=> 2(m+1) - 2.4 = 4

<=> 2m + 2 - 8 = 4

<=> 2m = 10

<=> m = 5 (T/m)

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-mx-1=0\)

\(ac=-1< 0\Rightarrow\) (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

\(y_1+y_2=y_1y_2\Leftrightarrow mx_1+1+mx_2+1=x_1^2x_2^2\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_1+x_2\right)+2=1\)

\(\Leftrightarrow m^2+1=0\) (vô nghiệm)

Vậy ko tồn tại m thỏa mãn đều bài

\(x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{m}{2}\) ; 

\(y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{mx_A+1+mx_B+1}{2}=\dfrac{m\left(x_A+x_B\right)+2}{2}=\dfrac{m^2+2}{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2x_M\\m^2=2y_M-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2x_M\right)^2=2y_M-2\)

\(\Rightarrow y_M=2x_M^2+1\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích M là parabol có pt \(y=2x^2+1\)

Đáp án D

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(\dfrac{x^2}{2}=mx-m+2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^2-mx+m-2=0\)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(m-2\right)=m^2-2m+4>0\forall m\)

Do đó: (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt(Đpcm)

nên ta có : \(x_1y_1+x_2y_2=0\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3=0\)\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)\left[\left(2m-1\right)^2-3m+6\right]=0\)

2. Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x + m² + 2m (m là tham số, m ∈ R )

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B?

b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành.

Tìm m sao cho: OH² + OK² = 6     mọi người hướng dẫ mk ý b vs