Ta co:

\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n+1}.\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Ap vào bài toan được

\(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)

\(< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \frac{1}{2}\)

iopdtg5 r4ytr'hfgo;hrt687y5t53434]\trvf;lkg

Đặt \(\frac{5-\sqrt{21}}{2}=a;\frac{5+\sqrt{21}}{2}=b>0\) thì \(ab=1\)

*Chứng minh a_n là số tự nhiên.

Với n = 0, 1 nó đúng. Giả sử nó đúng đến n = k tức là ta có:

\(\hept{\begin{cases}a^{k-1}+b^{k-1}\inℤ\\a^k+b^k\inℤ\end{cases}}\). Ta cần chưng minh nó đúng với n =  k + 1 hay:

\(a^k.a+b^k.b=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-ab\left(b^{k-1}+a^{k-1}\right)\)

\(=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-\left(b^{k-1}+a^{k-1}\right)\inℤ\) (em tắt tí nhá, dựa vào giả thiết quy nạp thôi)

Vậy ta có đpcm. 

Còn lại em chưa nghĩ ra

Cái bài ban nãy sửa a, b thành x và y nha! Không thôi nó trùng với đề bài. Tại quen tay nên em đánh luôn a, b

Nháp:

Với n=0 ; \(a:_n5\)dư 2

Với n=1 ; \(a:_n5\)dư 0

Với n=2 ; \(a:_n5\)dư 3

Với n=3 ; \(a:_n5\)dư 0

Với n=4 ; \(a:_n5\)dư 2

Với n=5 ; \(a:_n5\)dư 0

Với n=6 ; \(a:_n5\)dư 3

Với n=7 ; \(a:_n5\)dư 0

....

=> Rút ra kết luận: 

+) Với n =4k, \(a:_n5\)dư 2  hay \(a_{4k}\equiv2\left(mod5\right)\)

+) Với n =4k+1, 4k+3 \(a:_n5\)dư 0   hay \(a_{4k+1}\equiv0\left(mod5\right)\),\(a_{4k+3}\equiv0\left(mod5\right)\)

+) Với n =4k+2  \(a:_n5\)dư 3 hay \(a_{4k+2}\equiv3\left(mod5\right)\)

Chứng minh: Đặt : \(\frac{5-\sqrt{21}}{2}=x\); \(\frac{5+\sqrt{21}}{2}=y\); \(xy=2\)

a) Chứng minh : \(a_{4k}\equiv2\left(mod5\right)\)

Chứng minh quy nạp theo k

+) k=0, k=  vì \(a_{4.0}\equiv2\left(mod5\right);a_4\equiv2\left(mod5\right)\) 

+) Giả sự: đúng với k nghĩa là: \(a_{4k}\equiv2\left(mod5\right)\) 

Chứng minh đúng với k+1

Thật vậy: 

\(a_{4\left(k+1\right)}=x^{4k+4}+y^{4k+4}=x^{4k}.x^4+y^{4k}.y^4=\left(x^{4k}+y^{4k}\right)\left(x^4+y^4\right)-x^{4k}y^4-y^{4k}.x^4\)

\(=a_{4k}.a_4-x^4y^4\left(x^{4k-4}+y^{4k-4}\right)\equiv2.2-2^4.2\equiv2\left(mod5\right)\)

Vậy với mọi k \(a_{4k}\equiv2\left(mod5\right)\)

Chứng minh tương tự cho các trường hợp dư 0 và dư 3 sau

...

Cần tìm cách nhanh, ngắn gọn và hay hơn! 

Đáp án của bạn ở đây:  https://dethihsg.com/de-thi-hoc-sinh-gioi-toan-9-phong-gddt-cam-thuy-2011-2012/amp/

Nhận xét: \(\left(n+1\right)\sqrt{n}=\sqrt{\left(n+1\right)^2n}=\sqrt{\left(n+1\right)n\left(n+1\right)};n\sqrt{n+1}=\sqrt{n^2\left(n+1\right)}=\sqrt{n.n\left(n+1\right)}\)

=> \(\left(n+1\right)\sqrt{n}>n\sqrt{n+1}\) => \(2.\left(n+1\right)\sqrt{n}>\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}\)

=> \(\frac{2}{2.\left(n+1\right)\sqrt{n}}

Ta có:

\(\frac{1}{\left(n-1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)

a,  \(P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+3}{5-\sqrt{x}}-\frac{3x+4\sqrt{x}-5}{x-4\sqrt{x}-5}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-5}-\frac{3x+4\sqrt{x}-5}{x-4\sqrt{x}-5}\)

\(P=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}-\frac{3x+4\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}\)

\(P=\frac{x-3\sqrt{x}-10+x+4\sqrt{x}+3-3x-4\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}\)

\(P=\frac{-x-3\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}\)

\(P=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(-\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}=\frac{-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-5}\)

để P > -2 

\(\Rightarrow\frac{-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-5}>-2\) đoạn này đang chưa nghĩ ra

c, \(P=\frac{-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-5}\in Z\)  \(\Rightarrow-\sqrt{x}-2⋮\sqrt{x}-5\)

=> -căn x + 5 - 7 ⋮ căn x - 5

=> -(căn x - 5) - 7 ⋮ căn x - 5 

=> 7 ⋮ x - 5 đoạn này dễ

a, Với \(x\ge0;x\ne25\)thì \(P=\frac{\sqrt{x}+2}{5-\sqrt{x}}\)  đoạn này đúng rồi 

\(P>-2\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+2}{5-\sqrt{x}}>-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+2}{5-\sqrt{x}}+2>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{12-\sqrt{x}}{5-\sqrt{x}}>0\)

Xét 2 trường hợp cùng âm, cùng dương hoặc "trong trái ngoài cùng"

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}>12\\0\le\sqrt{x}< 5\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x>144\\0\le x< 25\end{cases}}\)

Làm luôn cho đầy đủ =)