Đặt dãy tỉ số = k => a = 2014k , b = 2015k , c = 2016k Thay a,b,c vào đẳng thức dưới => ĐPCM 

Nhớ mặt từ sau đừng bảo tui giải cho

Ta có :\(\frac{a}{2015}=\frac{b}{2016}=\frac{c}{2017}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{2015}=\frac{b}{2016}=\frac{c}{2017}=\frac{b-a}{2016-2015}=\frac{c-a}{2017-2015}=\frac{c-b}{2017-2016}\)

\(\Rightarrow\frac{b-a}{1}=\frac{c-a}{2}=\frac{c-b}{1}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(b-a\right)=c-a\\2\left(b-c\right)=c-a\end{cases}\Rightarrow4\left(b-a\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2}\)

a) Ta có: \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)(1)

Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)nên:

(1) xảy ra\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)

ai làm giúp em phép tính này với em làm mãi ko dc ạ 

bài 5 tính nhanh

a 100 -99 +98 - 97 + 96 - 95 + ... + 4 -3 +2 

b 100 -5 -5 -...-5 ( có 20 chữ số 5 )

c 99- 9 -9 - ... -9 ( có 11 chữ số 9 ) 

d 2011 + 2011 + 2011 + 2011 -2008 x 4

i 14968+ 9035-968-35

k 72 x 55 + 216 x 15 

l 2010 x 125 + 1010 / 126 x 2010 -1010

e 1946 x 131 + 1000 / 132 x 1946 -946

g 45 x 16 -17 / 45 x 15 + 28 

h 253 x 75 -161 x 37 + 253 x 25 - 161 x 63 / 100 x 47 -12 x 3,5 - 5,8 : 0,1

BĐT bị ngược dấu, BĐT đúng phải là:

\(\dfrac{a}{ac+4}+\dfrac{b}{ab+4}+\dfrac{c}{bc+4}\le\dfrac{a^2+b^2+c^2}{16}\)

Sửa \(\le\) thành \(\ge\) nha bạn

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)

Ta có \(\dfrac{a^2}{a+bc}=\dfrac{a^3}{a^2+abc}=\dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{b+ca}=\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\\\dfrac{c^2}{c+ba}=\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT cosi:

\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{64}}=\dfrac{3}{4}a\)

\(\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{b^3}{64}}=\dfrac{3}{4}b\)

\(\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{c^3}{64}}=\dfrac{3}{4}c\)

Cộng VTV:

\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}-\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{8}\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=3\)