a) Xét hai tam giác vuông tam giác NMD ( M = 90 độ ) và tam giác END ( E = 90 độ ) có

ND là cạnh chung

góc MND  = góc END ( vì ND là tia phân giác )

Do đó tam giác NMD = tam giác END ( cạnh huyền - góc nhọn )

b) Ta có tam giác NMD = tam giác END  ( cmt )

=> NM = NE ( hai cạnh tương ứng )

Mà góc N = 60 độ

=> tam giác MNE là tam giác đều

c) Ta có tam giác MNE là tam giác đều

=> NM = NE = ME ( 1 )

=> góc NME = 60 độ 

Ta có góc NME + góc EMP = 90 độ

Mà góc NME = 60 độ ( cmt )

=> góc EMP = 30 độ ( * )

Ta có tam giác NMP vuông tại M

=> góc N + góc P = 90 độ ( hai góc nhọn phụ nhau )

Mà góc N = 60 độ

=> góc P = 30 độ (**)

Từ (*) và (**) suy ra

tam giác EMP cân tại E

=> EM = EP ( 2 )

Từ (1) và (2) suy ra

NE = EP = 7 cm

Mà NE + EP = NP

7 cm + 7 cm = NP

=> NP = 14 cm

Vậy NP = 14 cm

a) Xét ΔNAM vuông tại M và ΔNDA vuông tại D có 

NA chung

NA=ND(gt)

Do đó: ΔNAM=ΔNDA(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒\(\widehat{MNA}=\widehat{DNA}\)(hai góc tương ứng)

mà tia NA nằm giữa hai tia NM,NDnên NA là tia phân giác của \(\widehat{NMD}\)hay NA là tia phan giác của \(\widehat{NMP}\)(đpcm)b) Xét ΔNMD có NM=ND(gt)nên ΔNMD cân tại N(Định nghĩa tam giác cân)Xét ΔNMD cân tại N có \(\widehat{MND}=60^0\)(gt)nên ΔNMD đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)c) Ta có: ΔNMP vuông tại M(gt)nên \(\widehat{NMP}+\widehat{MPN}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)\(\Leftrightarrow\widehat{MPN}=90^0-\widehat{NMP}=90^0-60^0=30^0\)(1)Ta có: NA là tia phân giác của \(\widehat{MNP}\)(cmt)nên \(\widehat{PNA}=\dfrac{\widehat{MNP}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)(2)Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{APN}=\widehat{ANP}\)Xét ΔANP có \(\widehat{APN}=\widehat{ANP}\)(cmt)nên ΔANP cân tại A(Định lí đảo của tam giác cân)Ta có: ΔANP cân tại A(gt)mà AD là đường cao ứng với cạnh đáy NP(gt)nên AD là đường trung tuyến ứng với cạnh NP(Định lí tam giác cân)hay D là trung điểm của NP(đpcm)

GiẢi

a , Xét tam giác MNA và tam giác DNA có :

NM=ND (GT)

Góc NMA = góc NDA =90 độ

NA là cạnh chung

=> Tam giác MNA = tam giác DNA (c.g.c)

=> Góc MNA =góc DNA ( hai góc tương ứng)

=. NA là tia phân giác của góc MNP

b, Tam giác MND là tâm giác đều vì mỗi góc đều có só đo = 60 độ

d,Xetstam giác MBA và tam giác DPA có :

BM=DP(GT)

góc MAB = góc DPA ( đối đỉnh)

MA=DA (hai cạnh tương ứng của tam giác MNA=tam giác DNA)

=> Tam giác MBA = tam giác DPA (c.g.c)

=> AB=PA ( hai cạnh tương ứng)

=> Tam giác APB cận tại A

e, AD vuông góc với NP

BD vuông góc với NP

=. D,A,B thẳng hàng

a: Xét ΔMND và ΔMED có

MN=ME

\(\widehat{NMD}=\widehat{EMD}\)

MD chung

Do đó: ΔMND=ΔMED

b: Xét ΔMNP có \(\widehat{M}=90^0\)

nên ΔMNP vuông tại M

Ta có hình vẽ:

Mk quên nối Q với F lại, bạn tự nối lại khi làm bài nhé

a/ Trong tam giác MNP có: M+N+P = 180⁰

hay 90⁰+60⁰+P = 180⁰

=> góc P = 30⁰

b/ Xét tam giác NFM và tam giác NFE có:

NM = NE (GT)

góc MNF = góc ENF (GT)

NF : cạnh chung

=> tam giác NFM = tam giác NFE (c.g.c)

c/ Xét tam giác NMP và tam giác NEQ có:

N: góc chung

NM = NE (GT)

M = E = 90⁰ (do tam giác NFM = tam giác NFE)

=> tam giác NMP = tam giác NEQ (g.c.g)

=> NQ = NP (2 cạnh tương ứng) (1)

Ta có: góc QNH = góc PNH (GT) (2)

NH: chung (3)

TỪ (1),(2),(3) => tam giác NHQ = tam giác NHP

d/ C/m tam giác NMP = tam giác NEQ (đã chứng minh ở câu c)

Xét tam giác MFQ và tam giác CFE có:

góc M = góc E = 90⁰

NQ = NP; NM = NE => MQ = EP

góc Q = góc P (vì tam giác NMP = tam giác NEQ)

=> tam giác MFQ = tam giác CFE (g.c.g)

=> góc MFQ = góc EFP (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{MFN}\)+\(\widehat{NFE}\)+\(\widehat{EFP}\)=180⁰

=> \(\widehat{MFN}\)+\(\widehat{NFE}\)+\(\widehat{MFQ}\)=180⁰

=> \(\widehat{QFE}\)=180⁰

hay E,F,Q thẳng hàng

a) Xét \(\Delta MNK\left(\widehat{M}=90^o\right)\) và \(\Delta QNK\left(\widehat{Q}=90^o\right)\) có:

\(\widehat{MNK}=\widehat{QNK}\) (giả thiết)

\(NK\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta MNK=\Delta QNK\left(ch.gn\right)\)

b) Vì \(\Delta MNK=\Delta QNK\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MN=QN\) (\(2\) cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta MNQ\) cân tại \(N\)

Mà \(\widehat{MNQ}=60^o\)

\(\Rightarrow\Delta MNQ\) đều

Vì \(NK\) là tia phân giác \(\widehat{MNP}\) (giả thiết)

\(\Rightarrow\widehat{MNK}=\widehat{QNK}=\dfrac{\widehat{MNP}}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o=\widehat{NPK}\)

\(\Rightarrow\Delta NKP\) cân tại \(K\)

c) Vì \(\Delta NMQ\) đều (chứng minh trên)

\(\Rightarrow NM=MQ=NQ=8cm\)

Xét \(\Delta NMP\left(\widehat{M}=90^o\right)\) có:

\(PN=2MN=2.8=16cm\)

\(\Rightarrow PQ=16-8=8cm\)

a: Xét ΔMNK vuông tại M và ΔQNK vuông tại Q có

NK chung

\(\widehat{MNK}=\widehat{QNK}\)

Do đó: ΔMNK=ΔQNK

b: Ta có: ΔMNK=ΔQNK

nên NM=NQ

=>ΔNMQ cân tại N

mà \(\widehat{MNQ}=60^0\)

nên ΔMNQ đều

Xét ΔNKQ có 

\(\widehat{KPN}=\widehat{KNP}\)

nên ΔNKQ cân tại K

c: Xét ΔMNP vuông tại M có 

\(\cos N=\dfrac{MN}{NP}\)

=>NP=16(cm)

=>\(MP=8\sqrt{3}\left(cm\right)\)