(x;y là số nguyên tố)

\(\left(x^2-y^2\right)=4xy+1\left(1\right)\)

Ta có \(\left(x^2-y^2\right)^2-1=4xy\Leftrightarrow\left(x^2-y^2+1\right)\left(x^2-y^2-1\right)=4xy\) (**)

Vì (1) là phương trình đối xứng và x,y là số nguyên nên đặt 

\(2\le x< y\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y\ge6\\x+y\ge5\end{cases}}\)và y là số lẻ (I) ta có:

(**) <=> (đến đây có 5 TH tìm được (x;y)=(2;5))

\(2\overline{xy}=\left(x+2\right)^2+\left(y+4\right)^2\)

☘ Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}x;y\in Z^+\\1\le x\le9\\0\le y\le9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2+8y+16\right)=2\left(10x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-16x+y^2+6y+20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-16x+64\right)+\left(y^2+6x+9\right)-53=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-8\right)^2+\left(y+3\right)^2=53\)

Nhận xét:

☘ \(53=2^2+7^2=7^2+2^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\left|x-8\right|=2\\\left|y+3\right|=7\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\left|x-8\right|=7\\\left|y+3\right|=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

☘ Theo điều kiện \(1\le y\)

\(\Leftrightarrow4\le y+3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-8\right|=2\\\left|y+3\right|=7\end{matrix}\right.\)

⚠ Làm tiếp nhé.

\(\overline{xy}=10.x+y\) Khi đó \(\dfrac{\overline{xy}}{x+y}=\dfrac{10x+y}{x+y}\)

Mặt khác \(\dfrac{10x+y}{x+y}=\dfrac{100x+10y}{10\left(x+y\right)}=\dfrac{19\left(x+y\right)+81x-9y}{10\left(x+y\right)}=\dfrac{19}{10}+\dfrac{9\left(9x-y\right)}{10\left(x+y\right)}\ge\dfrac{19}{10}\)

Do đó, \(\dfrac{\overline{xy}}{x+y}\) nhận giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{19}{10}\) khi \(9x-y=0\) hay \(x=1,y=9\)

Vậy số cần tìm là 19

=> 4(10x+y) =4xy= 4(x²-1)+ 4(y²-1). Khai triển chuyển vế và nộp lại ta có: (2x-12)²+ (2y-3)² =145=12² + 1²=8²+ 9²

Ta có: -10=(2.1-12)<=(2x-12)<=(2.9-12)=7

-3=(2.0-3)<=(2y-3)<=(2.9-3)=15

=> 2x-12=-8=> 2y-3=9=> x=2 và y=6=> xy=26

\(\overline{xy}=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\)

\(4\overline{xy}=4\left[\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\right]\)

\(4\left(10x+y\right)=4\left(x^2-2x+1\right)+4\left(y^2-2y+1\right)\)

\(40x+4y-4x^2+8x-4-4y^2+8y-4=0\)

\(4x^2-48x+144+4y^2-12y+9=145\)

\(\left(2x-12\right)^2+\left(2y-3\right)^2=12^2+1^2=8^2+9^2\)

Xét các TH:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-12\right|=12\\\left|2y-3\right|=1\end{matrix}\right.\)(giải thì hệ này không thỏa mãn điều kiện)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-12\right|=1\\\left|2y-3\right|=12\end{matrix}\right.\)(Hệ này cũng không thỏa mãn điều kiện)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-12\right|=8\\\left|2y-3\right|=9\end{matrix}\right.\)( Nhận nghiệm x=2;y=6)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-12\right|=9\\\left|2y-3\right|=8\end{matrix}\right.\)(Hệ này không thỏa mãn điều kiện)

Vậy\(\overline{xy}=26\)

Không có việc j nên hỏi ak