Ta có f(1999) = 1999²⁰¹⁵ - 2000.1999²⁰⁰⁴ + 2000.1999²⁰¹³ - 2000.1999²⁰¹² + .... + 2000.1999 - 1

                      = 1999²⁰¹⁵ - 2000(1999²⁰¹⁴ - 1999²⁰¹³ + 1999²⁰¹² - .... - 2000.1999) - 1

         Đặt C = 1999²⁰¹⁴ - 1999²⁰¹³ + 1999²⁰¹² - .... - 2000.1999

  Khi đó : f(1999) = 1999²⁰¹⁵ - 2000C - 1

Ta có : C = 1999²⁰¹⁴ - 1999²⁰¹³ + 1999²⁰¹² - .... - 2000.1999

=> 1999C = 1999²⁰¹⁵ - 1999²⁰¹⁴ + 1999²⁰¹³ - .... - 2000.1999²

Lấy 1999C cộng C theo vế ta có : 

1999C + C = (1999²⁰¹⁵ - 1999²⁰¹⁴ + 1999²⁰¹³ - .... - 2000.1999²) + (1999²⁰¹⁴ - 1999²⁰¹³ + 1999²⁰¹² - .... - 2000.1999)

      2000C = 1999²⁰¹⁵ - 2000.1999

=> f(1999) = 1999²⁰¹⁵ - 1999²⁰¹⁵ +  2000.1999 - 1 = 2000.1999 + 1

Ta có: x=1999

nên x+1=2020

Ta có: \(f\left(x\right)=x^{17}-2020\cdot x^{16}+2020\cdot x^{15}-2020\cdot x^{14}+...+2000x-1\)

\(=x^{17}-x^{16}\left(x+1\right)+x^{15}\left(x+1\right)-x^{14}\left(x+1\right)+...+x\left(x+1\right)-1\)

\(=x^{17}-x^{17}-x^{16}+x^{16}+x^{15}-x^{15}-x^{14}+...+x^2+x-1\)

\(=x-1\)

\(=1999-1=1998\)

f(x) = x^17 - 2000x^16 + 2000x^15 - 2000x^14 + ... + 2000x - 1

⇒ f(1999) = 1999^17 - 2000.1999^16 + 2000.1999^15 - 2000.1999^14 + ... + 2000.1999 - 1

⇒ 1999. f(1999) = 1999^18 - 1999.1999^17 + 2000.1999^16 - 2000.1999^15 + ... + 2000.1999^2 - 1999

⇒ 1999. f(1999) + f(1999) =(1999^18 - 1999.1999^17 + 2000.1999^16 - 2000.1999^15 + ... + 2000.1999^2 - 1999) + (1999^17 - 2000.1999^16 + 2000.1999^15 - 2000.1999^14 + ... + 2000.1999 - 1)

⇒ 2000. f(1999) = 19992−1

⇔ f(1999) =1999^2-1/2000(ghi dưới dạng phân số nha)

\(A=x^{30}-2000x^{29}+2000x^{28}-2000x^{27}+...+2000x^2-2000x+2000\)

Ta có: \(f\left(x\right)=x^{30}-2000x^{29}+2000x^{28}-2000x^{27}+...+2000x^2-2000x+2000\)

\(\Leftrightarrow f\left(2006\right)=2006^{30}-2000.2006^{29}+2000.2006^{28}-2000.2006^{27}+...\)\(+2000.2006^2-2000.2006+2000\)

\(\Rightarrow2006.f\left(2006\right)=2006^{31}-2000.2006^{30}+2000.2006^{29}-2000.2006^{28}+...\)\(+2000.2006^3-2000.2006^2+2000.2006\)

\(\Rightarrow2006.f\left(2006\right)+f\left(2006\right)=2006^{31}-2000.2006^{30}+2000.2006^{29}-2000.2006^{28}+...\)\(+2000.2006^3-2000.2006^2+2000.2006\)\(+2006^{30}-2000.2006^{29}+2000.2006^{28}-2000.2006^{27}+...+2000.2006^2-2000.2006+2000\)

\(\Rightarrow2007.f\left(2006\right)=2006^{31}-2000.2006^{30}+2006^{30}+2000\)

\(\Rightarrow f\left(2006\right)=\frac{2006^{31}-2000.2006^{30}+2006^{30}+2000}{2007}\)

\(\Rightarrow f\left(2006\right)=\frac{2006^{30}\left(2006-2000+1\right)+2000}{2007}\)

\(\Rightarrow f\left(2006\right)=\frac{7.2006^{30}+2000}{2007}\)

Ta có \(\left|2000x+2012\right|+\left|2013-2000x\right|\ge\left|2000x+2012+2013-2000x\right|=\left|4025\right|=4025\)

^.^

thank