Hình bạn tự vẽ nha

a) \(\Delta AEM\)vuông tại E có EI là trung tuyến 

=> EI = IA (1) => \(\Delta EIA\)cân tại I, có EIM là góc ngoài

=> \(\widehat{EIM}=2\widehat{EAI}\)

Tương tự ta có \(\widehat{HIM}=2\widehat{HAI}\)và IH = IA (2)

Từ (1) và (2) suy ra IE = IH hay \(\Delta EIH\)cân tại I

có \(\widehat{EIH}=\widehat{EIM}+\widehat{HIM}=2\widehat{EAI}+2\widehat{HAI}=2\widehat{EAH}=2\left(90^o-\widehat{ABH}\right)=2\left(90^o-60^o\right)=60^o\)

Vậy EIH là tam giác đều, suy ra EI = EH = IH

Tương tự ta có IHF là tam giác đều, suy ra IH = HF = IF

=> EI = EH = IF = HF 

Vậy HEIF là hình thoi

b) \(\Delta ABC\)là tam giac đều nên AH là đường cao cũng là đường trung tuyến

có G là trọng tâm nên \(AG=\frac{2}{3}AH\)(3)

Gọi K là trung điểm AG, suy ra \(AK=KG=\frac{1}{2}AG\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra AK = KG = GH

Gọi O là giao điểm của EF và IH, suy ra OI = OH

\(\Delta AMG\)có IK là đường trung bình nên IK // MG 

\(\Delta IKH\)có OG là đường trung bình nên IK // OG 

=> M, O, G thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit)

Vậy EF, MG, HI đồng quy

c) HEIF là hình thoi nên \(EF\perp HI\)

\(\Delta EIH\)đều có EO là đường cao nên \(EO=EI\sqrt{\frac{3}{4}}\)(bạn tự chứng minh)

\(EF=2EO=2EI\sqrt{\frac{3}{4}}=AM\sqrt{\frac{3}{4}}\)(5)

EF đạt GTNN khi AM đạt GTNN

mà \(AM\ge AH\)nên EF đạt GTNN khi M trùng H

Khi đó AM là đường cao trong tam giác đều ABC nên ta cũng có \(AM=AB\sqrt{\frac{3}{4}}=a\sqrt{\frac{3}{4}}\)(6)

Từ (5) và (6) suy ra \(EF=a\left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right)^2=\frac{3}{4}a\)

Vậy EF đạt GTNN là \(\frac{3}{4}a\)khi M là chân đường cao hạ từ A xuống BC.

Ở đề không có điểm K, sao ở câu hỏi lại có điểm K vậy em?

đc chưa bn!!

Đặt \(AB=a,AC=b\). Ta có: \(BC^2=a^2+b^2.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông :
\(BD.BC=AB^2\Rightarrow BD=\frac{AB^2}{BC}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Tương tự \(CD=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Có \(MB.AB=BD^2\Rightarrow MB=\frac{BD^2}{AB}=\frac{a^4}{\left(a^2+b^2\right).a}=\frac{a^3}{a^2+b^2}\).
Tương tự ta tính được \(CN=\frac{b^3}{a^2+b^2}\).
Vậy \(\sqrt[3]{BM^2}+\sqrt[3]{CN^2}=\sqrt[3]{\left(\frac{a^3}{a^2+b^2}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(\frac{b^3}{a^2+b^2}\right)^2}\)
                                                     \(=a^2.\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)^2}}+b^2.\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)^2}}\)
                                                     \(=\left(a^2+b^2\right).\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)^2}}\)

                                                        \(=\sqrt[3]{a^2+b^2}=\sqrt[3]{BC^2}\) ( Đpcm)

bạn vẽ tam giác vuông nha

A/ sử dụng địn lí ta két trong tam giác nha

CHỊU bó tay

bạn ơi đề bài sai bạn ơi làm ơn cho mình xin cái đề đúng với