Cho x, y, z là các số dương thay đổi và thỏa mãn: \(xy+yx+zx=3xyz\). Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}+\frac{11y+4z}{4y^2-yz+2z^2}+\frac{11z+4x}{4z^2-zx+2x^2}\)
Cho x,y, z là số dương, xy +yz+zx=3xyz
Tìm giá trị lớn nhất
P=\(\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}+\frac{11y+4z}{4y^2-yz+2z^2}+\frac{11z+4x}{4z^2-zx+2x^2}\)
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) ta tìm được \(P=9\)
Ta sẽ chứng minh nó là \(GTLN\) của \(P\)
Thật vậy, ta cần chứng minh
\(Σ\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\le\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xyz}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{x}-\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{\left(x-y\right)\left(x-6y\right)}{x\left(4x^2-xy+2y^2\right)}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(\frac{\left(x-y\right)\left(x-6y\right)}{x\left(4x^2-xy+2y^2\right)}+\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}{xy\left(4x^2-xy+2y^2\right)}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(P_{Max}=9\) khi \(x=y=z=1\)
cho x,y,z là các số dương thay đổi thỏa mãn : xy+yz+zx=3xyz. tìm max
\(P=\dfrac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}+\dfrac{11y+4z}{4y^2-yz+2z^2}+\dfrac{11z+4x}{4z^2-zx+2x^2}\)
Cách giải khác:
Ta chứng minh bổ đề:
\(\dfrac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\le\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)(Đúng)
Tương tự ta cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{11y+4z}{4y^2-yz+2z^2}\le\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z};\dfrac{11z+4x}{4z^2-xz+2x^2}\le\dfrac{2}{z}+\dfrac{1}{x}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\le\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}=\dfrac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xyz}=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Câu hỏi của Neet - Toán lớp 10 | Học trực tuyến đổi biến (a,b,c)->(x,y,z) là y nhau
cho x,y,z là các số dương thay đổi thỏa mãn : xy+yz+zx=3xyz
tìm max của bt : \(\dfrac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}+\dfrac{11y+4z}{4y^2-yz+2z^2}+\dfrac{11z+4x}{4z^2-zx+2x^2}\)
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xy+yz+zx=3xyz\end{matrix}\right.\)
Tìm GTLN của :
P = \(\dfrac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}+\dfrac{11y+4z}{4y^2-yz+2z^2}+\dfrac{11z+4x}{4z^2-zx+2x^2}\)
cho x , y và z là các số thực dương thõa mãn \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}+\sqrt{2y^2+3yz+4z^2}+\sqrt{2z^2+3zx+4x^2}\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(2x^2+3xy+4y^2\ge3\sqrt[3]{2x^2\cdot3xy\cdot4y^2}=3\sqrt[3]{24x^3y^3}\Rightarrow\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}\ge\sqrt{xy\cdot3\sqrt[3]{24}}\)
Tương tự: \(\sqrt{2y^2+3yz+4z^2}\ge\sqrt{yz\cdot3\sqrt[3]{24}}\); \(\sqrt{2z^2+3zx+4x^2}\ge\sqrt{zx\cdot3\sqrt[3]{24}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT vừa tìm, ta được:
\(P\ge\sqrt{3\sqrt[3]{24}}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=\sqrt{3\sqrt[3]{24}}=\sqrt[6]{648}\)
Áp dụng BĐT Buniacoxki ta có
\(\left(2x^2+3xy+4y^2\right)\left(2+3+4\right)\ge\left(2x+3\sqrt{xy}+4y\right)^2\)
=> \(\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}\ge\frac{2x+3\sqrt{xy}+4y}{3}\)
Khi đó
\(P\ge\frac{1}{3}\left(6x+6y+6z+3\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\right)\)
Lại có \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
=> \(P\ge3\left(\sqrt{yz}+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\right)=3\)
MinP=3 khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
1. Cho x,y,z là ba số dương thay đổi và thỏa mãn \(^{x^2+y^2+z^2\le xyz}\)
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}\)
2. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}\)
cho các số dương x,y,z thay đổi thỏa mãn xy+yz+zx=xyz tính giá trị lớn nhất của M = \(\frac{1}{4x+3y+z}+\frac{1}{x+4y+3z}+\frac{1}{3x+y+4z}\)
Mai phải nộp rồi, mọi người giúp mình nhé, đúng mình tick cho
tách mẫu thành 3x+3y +x+z
mấy mauax còn lại tương tự
sau đó dúng ssww
http://diendantoanhoc.net/topic/156111-t%C3%ADnh-gi%C3%A1-tr%E1%BB%8B-l%E1%BB%9Bn-nh%E1%BA%A5t-c%E1%BB%A7a-m-frac14x3yz-frac1x4y3z-frac13xy4z/
tính giá trị lớn nhất của M = $\frac{1}{4x+3y+z} + \frac{1}{x+4y+3z} + \frac{1}{3x+y+4z}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn \(x+y+z=1\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(S=\frac{xy+yz+zx-xyz}{xy+yz+zx+xyz+2}\)
\(xy+yz+zx-xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\)
\(=\left(1-x\right)-y\left(1-x\right)-z\left(1-x\right)+yz\left(1-x\right)\)
\(=\left(1-x\right)\left(1-y-z+yz\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
\(xy+yz+zx+xyz+2=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz\)
\(=\left(1+x\right)+y\left(1+x\right)+z\left(1+x\right)+yz\left(1+x\right)\)
\(=\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)
\(1+x+y+z=1+1\Rightarrow1+x=\left(1-y\right)+\left(1-z\right)\ge2\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}\)
Tương tự ta cũng có: \(1+y\ge2\sqrt{\left(1-z\right)\left(1-x\right)}\)
\(1+z\ge2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\)
Vậy \(S\le\frac{\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}{8\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\frac{1}{8}\)
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn \(xy+yz+xz\le3xyz\). Tìm GTLN của biểu thức :
\(P=\frac{1}{\sqrt{2x^2+xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{2y^2+yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{2z^2+zx+x^2}}\)
\(xy+yz+zx\le3xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3\)
\(P=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+x^2+xy}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+z^2+y^2+yz}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+x^2+z^2+zx}}\)
\(P\le\frac{1}{\sqrt{x^2+3xy}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+3yz}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+3zx}}=\frac{4}{2\sqrt{4x\left(x+3y\right)}}+\frac{4}{2\sqrt{4y\left(y+3z\right)}}+\frac{1}{2\sqrt{4z\left(z+3x\right)}}\)
\(P\le4\left(\frac{1}{4x+x+3y}+\frac{1}{4y+y+3z}+\frac{1}{4z+z+3x}\right)=4\left(\frac{1}{5x+3y}+\frac{1}{5y+3z}+\frac{1}{5z+3x}\right)\)
\(P\le\frac{4}{64}\left(\frac{5}{x}+\frac{3}{y}+\frac{5}{y}+\frac{3}{z}+\frac{5}{z}+\frac{3}{x}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\le\frac{3}{2}\)
\(P_{max}=\frac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)