a: Xét ΔCAB có 

P là trung điểm của BC

N là trung điểm của AC

Do đó: PN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: PN//BM và PN=BM

hay BMNP là hình bình hành

Answer:

Bài 7:

Ta có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{A}+120^o+60^o+90^o=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{A}=90^o\)

Gọi góc ngoài đỉnh A là \(\widehat{DAx}\)

\(\Rightarrow\widehat{DAx}=180^o-\widehat{DAB}\)

\(\Rightarrow\widehat{DAx}=180^o-90^o=90^o\)

Answer:

Bài 8:

a/ P là trung điểm BC (giả thiết)

N là trung điểm AC (giả thiết)

=> NP là đường trung bình

=> NP // AB hay NP // MB và \(NP=\frac{1}{2}AB\left(1\right)\)

Mà M là trung điểm của AB (giả thiết)

=> AM = MB = \(\frac{1}{2}AB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => NP // MB và NP = MB

=> Tứ giác BMNP là hình bình hành

b/ Ta có: AM = NP và NP // MB hay NP // AM

=> AMPN là hình bình hành

Mà ta có \(\widehat{BAC}=90^o\)

=> AMPN là hình chữ nhật

=> AM = PN, AN = MP

c/ Vì Q đối xứng P qua N => PQ vuông góc AC, PN = NQ

Tương tự ta có: PR vuông góc AB, RM = MP

Ta xét hai tam giác RAM và AQN:

AM = QN (=NP)

\(\widehat{AMR}=\widehat{QNA}=90^o\)

RM = AN (=NP)

=> Tam giác RAM = tam giác AQN (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{MAR}=\widehat{NQA}\)

Ta có: \(\widehat{NQA}+\widehat{QAN}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MAR}+\widehat{QAN}=90^o\)

Ta có: \(\widehat{BAC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MAR}+\widehat{QAN}+\widehat{BAC}=180^o\)

=> R, A, Q thẳng hàng

\(a,\left\{{}\begin{matrix}CM=MB\\NM=MD\end{matrix}\right.\Rightarrow BDCN\) là hbh

\(b,BDCN\) là hbh nên \(\left\{{}\begin{matrix}BD=CN=AN\\BD//CN.hay.BD//AN\end{matrix}\right.\Rightarrow ABDN\) là hbh

Mà \(\widehat{A}=90^0\) nên ABDN là hcn

Vậy \(AD=BN\)

\(c,\) Gọi G là giao BN và AE

Dễ dàng cm được \(\Delta NMG=\Delta DME\left(g.c.g\right);\Delta MEC=\Delta MGB\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow ED=NG;CE=GB\left(1\right)\)

\(\Delta ABC\) có AM,BN là trung tuyến; \(AM\cap BN=G\) nên G là trọng tâm

\(\Rightarrow2NG=GB\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow CE=2DE\)

a: Xét tứ giác MBPA có 

N là trung điểm của MP

N là trung điểm của BA

Do đó: MBPA là hình bình hành

a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC và MN=BC/2(1)

hay BMNC là hình thang

b: Xét ΔGBC có 

E là trung điểm của GB

F là trung điểm của GC

Do đó: EF là đường trung bình

=>EF//BC và EF=BC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN//FE và MN=FE

hay MNEF là hình bình hành

c: Xét ΔABC có 

BN,CM là các đường trung tuyến

BN cắt CM tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

mà AG cắt BC tại H

nên H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có 

H là trung điểm của BC

M là trung điểm của BA

Do đó: HM là đường trung bình

=>HM//AC và HM=AC/2

=>HM=AN và HM//AN

=>AMHN là hình bình hành

mà \(\widehat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật