Cho x, y, z là 3 số nguyên dương thỏa mãn x+y+z=2 và \(A= \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{x+z} +\frac{z^2}{x+y}\)
cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x,y,z>0 thỏa mãn x(x-z)+y(y-z) =0 tìm GTNN của \(P=\frac{x^3}{x^2+z^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+4}{x+y}\)
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=2
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta được:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\)
\(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{z+x}.\frac{z+x}{4}}=y\)
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=z\)
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được
\(A+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
Cách 2:Dù dài hơn Lê Tài Bảo Châu
\(\frac{x^2}{y+z}+x=\frac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{x}{y+z}\)
\(\frac{y^2}{z+x}+y=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{y}{z+x};\frac{z^2}{x+y}+z=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{z}{x+y}\)
Suy ra \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)
Đến đây thay x+y+z=2 và BĐT netbitt là ra ( chứng minh netbitt nha )
Cách 3:
\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Áp dụng Cauchy Schwarz
\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=1\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=2/3
cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=1\)tìm Min
A=\(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\)
\(A=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)
Có BĐT phụ \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{-x^2\left(27x^6-54x^4+27x^2-4\right)}{4\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2}}{\frac{x}{1-x^2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}\ge0\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{y}{1-y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2;\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có;
\(A\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Bài này ngoài cách này còn có 1 cách khá trâu mà giờ mỏi v~ ý cần thêm thì ib
Bài làm thì m không ý kiến nhưng mà m nghĩ cái bất đẳng thức phụ bác nên chứng minh lại đi. Ai lại cố gắng làm cho nó thành 1 đống rồi khẳng định đống đó là đúng bao giờ. Làm thế thì không phải bài chứng minh rồi.
Ý hungnguyn là c/m hết à .-.
\(\frac{x}{1-x^2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(\frac{x}{1-x^2}\right)^2-\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\right)^2}{\frac{x}{1-x^2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{x^2}{x^4-2x+1}-\frac{27x^4}{4}}{\frac{x}{1-x^2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\frac{-x^2\left(27x^6-54x^4+27x^2-4\right)}{4\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2}}{\frac{x}{1-x^2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{-x^2\left(3x^2-4\right)\left(3x^2-1\right)^2}{4\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2}}{\frac{x}{1-x^2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}\ge0\) tự đánh giá nốt nhé .-.
cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn: \(x^2+y^2+z^2=1\),Tìm Min
\(A=\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\)
Ta có : \(x^2+y^2+z^2=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=1-z^2\\y^2+z^2=1-x^2\\x^2+z^2=1-y^2\end{cases}\left(1\right)}\)
\(A=\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\)
Từ \(\left(1\right)\Rightarrow A=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)
\(\Rightarrow A=\left(\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}\right)+\frac{z}{1-z^2}\)
Nếu \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\). Ta sẽ chứng minh đó là min A. Thật vậy:
BĐT<=> \(\Sigma_{sym}\frac{x}{y^2+z^2}=\Sigma_{sym}\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}.\Sigma x^2\)
Ta sẽ chứng minh \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\Leftrightarrow\frac{1}{x\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}.\left[2x^2\left(1-x^2\right)\left(1-x^2\right)\right]\le\frac{4}{27}\)
BĐT này đúng theo AM-GM nên \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\). Thiết lập tương tự hai bđt kia rồi cộng theo vế ...
P/s: dùng AM-GM thế này đúng ko ta?
Cho x ,y ,z là các số nguyên dương thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng :
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}\ge\frac{3}{2}\)
Nếu x; y; z là các số nguyên dương mà x y z = 1 => x = y = z = 1
=> bất đẳng thức luôn xảy ra dấu bằng
Sửa đề 1 chút cho z; y; x là các số dương
Ta có: \(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)
=> \(\frac{x^2}{y+1}\ge x-\frac{y+1}{4}\)
Tương tự:
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}\ge x+y+z-\frac{y+1}{4}-\frac{z+1}{4}-\frac{x+1}{4}\)
\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.3\sqrt[3]{xyz}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=2. tìm GTNN của biểu thức : P = \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1.\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\)và \(\frac{y+z}{4}\), ta được :
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\) ( 1 )
Tương tự : \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ( 2 )
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\) ( 3 )
Cộng ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) , ta được :
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(P\ge\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
\(\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{x+z}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{x+z}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\)
\(\Rightarrow P+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\)hay \(P+2=2\cdot\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\).Mặt khác \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zx+zy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{2}\)
Do đó \(P+2\ge2\cdot\frac{3}{2}=3\Rightarrow P\ge1\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{xy+xz}=\frac{y}{yx+yz}=\frac{z}{zx+zy}\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{y+z}=\frac{1}{x+z}=\frac{1}{x+y}\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=\frac{2}{3}}\)
1) cho x;y;z dương thỏa mãn x+y+z=2 .tìm min P=\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
2) cho x;y;z là các số dương sao cho \(x+y+z\ge12\)
tìm min M=\(\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)
\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)
Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)
tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)
=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4
Vậy minM=6 khi x=y=z=4
b1: Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:
\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+y+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
=>minP=1 <=> x=y=z=2/3
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\).TIm GTNN của biểu thức \(A=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)
Do \(x;y;z>0\) và \(x^2+y^2+z^2=3\)
Nên \(0< x;y;z< \sqrt{3}\)
Ta có: \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9x}+\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}\)
\(\Rightarrow A\ge x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}-\frac{1}{9x}-\frac{1}{9y}-\frac{1}{9z}\)
\(\Leftrightarrow A\ge x+\frac{8}{9x}+y+\frac{8}{9y}+z+\frac{8}{9z}\)
Ta chứng minh: \(x+\frac{8}{9x}\ge\frac{x^2+33}{18}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge\)
Do đó \(A\ge\frac{x^2+y^2+z^2+99}{18}=\frac{102}{18}=\frac{17}{3}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
Dòng thứ 3 từ dưới lên là \(\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge0\)
Đúng do \(0< x< \sqrt{3}< 16\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=2. Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(T=\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\)
Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)
Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)
Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng
Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng
Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)