a) Ta có : n³ + 3n² + 2n

= n(n² + 3n + 2) 

= n(n + 1)(n + 2) \(⋮\)6 (tích 3 số nguyên liên tiếp) (đpcm)

b) A = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + .... + 2⁹⁵ + 2⁹⁶ + 2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹

= (1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴) + 2⁵(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2⁹⁵(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴)

= 31 + 2⁵.31 + .. + 2⁹⁵.31

= 31(1 + 2⁵ + ... + 2⁹⁵) \(⋮31\)(đpcm) 

c) Ta có 49ⁿ + 77ⁿ - 29ⁿ - 1

= (49ⁿ - 1) + (77ⁿ - 29ⁿ) 

= (49 - 1)(49^{n - 1} - 49^{n - 2} + .... - 1) + (77 - 29)(77^{n - 1} - 77^{n - 2}.29 + 77^{n- 3}.29² - .... - 1) 

= 48(49^{n - 1} - 49^{n - 2} + .... - 1) + 48(77^{n - 1} - 77^{n - 2}.29 + 77^{n- 3}.29² - .... - 1) 

= 48(49^{n - 1} - 49^{n - 2} + .... - 1 + 77^{n - 1} - 77^{n - 2}.29 + 77^{n- 3}.29² - .... - 1) \(⋮\)48 (đpcm) 

1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15

Bài 1: \(\left(5n+2\right)^2-4=\left(25n^2+2.2.5n+2^2\right)-4=25n^2+20n+4-4\)

\(=25n^2+20n=5n\left(5n+4\right)\)

Có \(5n\left(5n+4\right)⋮5\) (có cơ số 5n)

=> \(\left(5n+2\right)^2-4⋮5\)

Bài 2: \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Đây là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3.

Vậy: \(n^3-n⋮3\)

Bài 3: \(x^2\left(x-3\right)+12-4x=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-3\right)+4\left(3-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-3\right)-4\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2=4,x=3\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2\\x=-2\\x=3\end{array}\right.\)

Câu 1:

Ta có:(5n+2)²-4=25n²+20n+4-4

                         =5.5n²+5.4n

                         =5.(5n²+4n)

       Vì 5.(5n²+4n) chia hêt cho 5

Suy ra:(5n+2)²-4

Câu 2:

Ta có:

n³-n=n.n²-n

       =n.(n²-1)

      =(n-1).n.(n+1)

       Vì (n-1);n và (n+1) là ba số tự nhiên liên tiếp

 Mà (n-1).n.(n+1) chia hết cho 3(1)

              Và (n-1).(n+1) chia hêt cho 2(2)

Từ (1) và (2) suy ra:(n-1).n.(n+1) chia hết cho 6

Bài 1. \(\left(5n+2\right)^2-4=\left(5n+2\right)^2-2^2=5n.\left(5n+4\right)\) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Bài 2. \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)

Nhận thấy tích trên gồm ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3

Mà (2,3) = 1 => Tích trên chia hết cho 6

nx n +1 chia hết co 2 khi n là số lẻ

n nhân  (n công 1)=n nhân 1 nhân n công 1=n nhân (1+1)=n nhan 2 chia hết cho2

a) (n mũ 2+n) chia hết cho 2 

=> n mũ 2 +n thuộc Ư(2), tự tìm ước của 2

\(n^2+n=n\left(n+1\right)\)

Vì n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 => đpcm

\(n^2+n+3=n\left(n+1\right)+3\)

Vì n(n+1) chia hết cho 2 => số cuối là số chẵn => n(n+1) + 3 có số cuối là số lẻ 

Vậy n^2+n+3 ko chia hết cho 2