Bài 4:

\(f\left(x\right)+x.f\left(-x\right)=x+1\) (*)

Thay \(x=1\) vào (*), ta có:

\(f\left(1\right)+1.f\left(-1\right)=1+1\Rightarrow f\left(1\right)+f\left(-1\right)=2\) (**)

Thay \(x=-1\) vào (*), ta có:

\(f\left(-1\right)+\left(-1\right).f\left(-\left(-1\right)\right)=-1+1\Rightarrow f\left(-1\right)-f\left(1\right)=0\) (***)

Trừ (**) và (***) vế theo vế, ta có:

\(\left(f\left(1\right)+f\left(-1\right)\right)-\left(f\left(-1\right)-f\left(1\right)\right)=2-0\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)+f\left(-1\right)-f\left(-1\right)+f\left(1\right)=2\)

\(\Rightarrow\left(f\left(1\right)+f\left(1\right)\right)+\left(f\left(-1\right)-f\left(-1\right)\right)=2\)

\(\Rightarrow2.f\left(1\right)=2\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)=1\)

Bữa cơm chiều nay cả nhà sum họp. Em rất hào hứng kể cho bố mẹ nghe và anh của em nghe về một câu chuyện có thật, vô cùng cảm động đã xảy ra ở lớp em chiều hôm nay....

"... Ở lớp con có một bạn tên là Hưng, nhà bạn rất nghèo, hoàn cảnh gia đình vô cùng khó khăn, nhưng bạn ấy lại học rất giỏi. Hiểu hoàn cảnh của bạn, cả lớp con đã bàn nhau góp tiền mua cho bạn một món quà nhân bạn vừa qua một đợt sốt cao, bây giờ mới đi học lại. Thực ra, chúng con chỉ gom đủ tiền để mua hai cân cam ngọt và một tập vở 20 quyển thôi, nhưng làm được việc này, cả lớp ai cũng cảm thấy yên lòng hơn một chút.

Đến giờ ra chơi, cả lớp cử bạn Hương ra tặng quà cho Hưng (vì bọn nó cho rằng bạn Hải lớp trưởng hay nói ầm ồ, không xuôi). Nhìn vẻ mặt của Hưng, cả lớp rất cảm động.Từ chỗ vô cùng ngạc nhiên, đến vui mừng và xúc động, vì bất ngờ và vì tình cảm chân thành của cả lớp. Bạn ấy đã khóc trong vòng tay của các bạn nam. Khai ai bảo ai, cả lớp cùng khóc.

Cô giáo chủ nhiệm lớp con mới biết tin sự kiện đáng nhớ này. Rất nhanh, cô đã có món quà ý nghĩa trong tay. Cô vào lớp, giọng cô vô cùng xúc động: "Quà này của cô về nhà con mới được mở ra nhé". Cô khen cả lớp đã biết quan tâm đến hoàn cảnh bạn bè quanh mình. Theo thói quen của người phụ trách thi đua, cô tuyên bố ca lớp được hành kiểm tốt trong tháng sáu này - tháng có sự việc đặc biệt. Chỉ có thế thôi, mà cả lớp reo lên sung sướng, nhất là mấy "ông tướng" nghịch ngợm, bị đưa ý kiến về gia đình... Câu chuyện chiều nay làm con cảm thấy gắn bó với tập thể lớp hơn, bố mẹ ạ! Không khí chiều nay thật sự đầm ấm như con đang được sống trong gia đình thứ hai...

Câu chuyện em kể đã xong rồi mà hình ảnh như cả vẫn ngồi in lặng, lắng nghe. Cuối cùng, mẹ em là người lên tiếng, giọng cảm động: "Cả nhà rất vui vì lớp các con biết yêu thương nhau và con cùng cả lớp đã làm được một việc tốt".

/hoi-dap/question/82933.html

Xem ở đây bạn nhé!

11 c)

\(a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

12 a)  Có a+b+c=1\(\Rightarrow\) (1-a)(1-b)(1-c)= (b+c)(a+c)(a+b) (*)

áp dụng BĐT cô-si: \(\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{bc}2\sqrt{ac}2\sqrt{ab}=8\sqrt{\left(abc\right)2}=8abc\) ( luôn đúng với mọi a,b,c ko âm ) 

b)  áp dụng BĐT cô-si: \(c\left(a+b\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)

Tương tự: \(a\left(b+c\right)\le\dfrac{1}{4};b\left(c+a\right)\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{64}\)

13 b) \(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4ab\)

Dấu = xảy ra khi a=b=1

Bài 5:

Ta có : \(\widehat{A_1}+\widehat{A_3}=180^o\) (kề bù)

            \(100^o+\widehat{A_3}=180^o\)

            \(\widehat{A_3}=80^o\)

Ta có: \(\widehat{A_3}=\widehat{B_1}=80^o\)

            \(\widehat{A_3}\) và \(\widehat{B_1}\) ở vị trí đồng vị 

\(\Rightarrow AC//BD\)

\(\Rightarrow\widehat{C}_1=\widehat{D_1}=135^o\) (đồng vị)

\(x=135^o\)

b)

Ta có: \(\widehat{G_1}+\widehat{B_1}=180^o\left(120^o+60^o=180^o\right)\)

               \(\widehat{G_1}\) và \(\widehat{B_1}\) ở vị trí trong cùng phía

\(\Rightarrow QH//BK\)

\(\Rightarrow\widehat{H_1}=\widehat{K_1}=90^o\)(so le)

\(x=90^o\)

Vì đg thẳng c vuông góc với đg thẳng b

Đg thăng c vuông góc với đg thẳng a

=》a//b