a) Vì \(BM\)là đường cao nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \); vì \(CN\)là đường cao nên \(\widehat {ANC} = 90^\circ \)

Xét tam giác \(AMB\) và tam giác \(ANC\) có:

\(\widehat A\) (chung)

\(\widehat {ANB} = \widehat {ANC} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta AMB\backsim\Delta ANC\) (g.g).

Suy ra, \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ).

Do đó, \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (tỉ lệ thức)

Xét tam giác \(AMN\) và tam giác \(ABC\) có:

\(\widehat A\) (chung)

\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\) (c.g.c).

b) Xét tam giác \(AMN\) có \(AI\) là đường phân giác của \(\widehat {MAN}\left( {I \in MN} \right)\).

Theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{AM}}{{AN}}\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(AK\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\left( {K \in BC} \right)\).

Theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

Mà \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (chứng minh trên) nên \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\) (điều phải chứng minh).

a: Xet ΔAMB vuông tại M và ΔANC vuông tại N có

góc MAB chung

=>ΔAMB đồng dạng với ΔANC
=>AM/AN=AB/AC

=>AM*AC=AN*AB; AM/AB=AN/AC

b: Xet ΔAMN và ΔABC co

AM/AB=AN/AC

góc A chung

=>ΔAMN đồng dạng với ΔABC

c: góc MPH=góc ACN

góc NPH=góc ABM

góc ACN=góc ABM

=>góc MPH=góc NPH

=>PH là phân giác củagóc MPN

vì tgiac ABC cân tại A

có BM và CN là trung tuyến=> AM=MC=AN=NB

a, xét tgiac BMC và tgiac CNB có:

BC là cạnh chung

góc B= góc C(gt)

BM=CN(cmt)

vậy tgiac BMC=Tgiac CNB(c.g.c)

b. xét tgiac AMN có AM=AN(cmt)

=> tgiac AMN cân tại đỉnh A

ta lại có tgiac ABC cân tại A 

Vậy góc ANM= góc ABC= (180-góc A):2

mà góc ANM và góc ABC ở vị trí đồng vị => MN//BC

c.ta có BM cắt CN tại G=> G là trọng tâm tgiac ABC=> AG là đường trung tuyến ứng vơi cạnh BC

mà tamgiac ABC cân tại A nên đường trung tuyến AG cũng là đường cao vậy AG vuông góc với BC

mà BC//MN nên AG vuông góc với MN(từ vuông góc đến //)

`@` `\text {Ans}`

`\downarrow`

`1)`

Vì `\Delta ABC` cân tại A.

`-> \text {AB = AC, }` $\widehat {B} = \widehat {C}$

Xét `\Delta ABM` và `\Delta ACN`:

`\text {AB = AC}`

$\widehat {A} \text { chung}$

$\widehat {ANC} = \widehat {AMB} (=90^0)$

`=> \Delta ABM = \Delta ACN (ch-gn)`

`2)`

Xét `2 \Delta` vuông `BMC` và `CNB`:

$\widehat {B} = \widehat {C}$

`\text {BC chung}`

`=> \Delta BMC = \Delta CNB (ch-gn)`

`3)`

Vì `\Delta BMC = \Delta CNB (b)`

`-> \text {BN = CM (2 cạnh tương ứng)}`

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB = AN + NB}\\\text{AC = AM + MC}\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB = AC}\\\text{BN = CM}\end{matrix}\right.\)

`-> \text {AM = AN}`

Xét `\Delta AMN`:

`\text {AM = AN}`

`-> \Delta AMN` cân tại A.

`4)`

Kẻ đường cao AI

Vì AI đi qua MN

`-> \text {AI} \bot \text {MN}`

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AI }\bot\text{ MN}\\\text{AI }\bot\text{ BC}\end{matrix}\right.\)

`@` Theo tiên đề euclid

`-> \text {MN // BC}`

Hoặc bạn có thể giải cách này

Vì `\Delta AMN` cân tại A

\(\rightarrow\widehat{\text{AMN}}=\widehat{\text{ANM}}=\dfrac{180^0-\widehat{\text{A}}}{2}\) `(1)`

Vì `\Delta ABC` cân tại A

\(\rightarrow\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}=\dfrac{180^0-\widehat{\text{A}}}{2}\) `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`->` \(\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ANM}}\)

Mà `2` góc này ở vị trí sole trong

`-> \text {MN // BC (t/c 2 đt' //).}`

1: Xét ΔABM vuông tại M và ΔACN vuông tại N có

AB=AC

góc BAM chung

=>ΔABM=ΔACN

2: Xét ΔNBC vuông tại N và ΔMCB vuông tại M có

BC chung

góc NBC=góc MCB

=>ΔNBC=ΔMCB

3: Xét ΔAMN có AM=AN

nên ΔAMN cân tại A

4: AM/AC=AN/AB

=>MN//BC