Theo giả thiết ta có M và N là hai điểm di động lần lượt trên hai tia Ax và By sao cho AM + BN = MN.

a) Kéo dài MA một đoạn AP = BN, ta có MP = MN và OP = ON.

Do đó ΔOMP = ΔOMN (c.c.c)

⇒ OA = OH nên OH = a.

Ta suy ra HM = AM và HN = BN.

b) Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Bx’, By) ta có:

HK // MM’ với K ∈ NM’.

Do đó đối với tam giác BNM’ đường thẳng BK là phân giác của góc (x'By) .

c) Gọi (β) là mặt phẳng (AB, BK). Vì HK // AB nên HK nằm trong mặt phẳng (β) và do đó H thuộc mặt phẳng (β). Trong mặt phẳng (β) ta có OH = a. Vậy điểm H luôn luôn nằm trên đường tròn cố định, đường kính AB và nằm trong mặt phẳng cố định (β) = (AB, BK)

Vì ∠xBy là góc đối đỉnh với ∠x'By'. Khi đó: ∠xBy = ∠x'By' = 60° (tính chất hai góc đối đỉnh)

Chọn đáp án D.

60

a) Xét ΔABE và ΔADC có 

AB=AD(gt)

\(\widehat{DAC}\) chung

AE=AC(gt)

Do đó: ΔABE=ΔADC(c-g-c)

Suy ra: BE=DC(hai cạnh tương ứng)

b) Ta có: ΔABE=ΔADC(cmt)

nên \(\widehat{ABE}=\widehat{ADC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{ABE}+\widehat{DBC}=180^0\)(hai góc kề bù)

và \(\widehat{ADC}+\widehat{ODE}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{OBC}=\widehat{ODE}\)

Xét ΔOBC và ΔODE có

\(\widehat{OBC}=\widehat{ODE}\)(cmt)

BC=DE

\(\widehat{OCB}=\widehat{OED}\)(ΔACD=ΔAEB)

Do đó: ΔOBC=ΔODE(g-c-g)

c) Ta có: AC=AE(gt)

nên A nằm trên đường trung trực của CE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: MC=ME(M là trung điểm của CE)

nên M nằm trên đường trung trực của CE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của CE(đpcm)

Bài 4: 

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔABD vuông tại A có 
BA chung

AC=AD

Do đó: ΔABC=ΔABD

b: Xét ΔMAC vuông tại A và ΔMAD vuông tại A có 

MA chung

AC=AD

Do đó: ΔMAC=ΔMAD

Xét ΔMBD và ΔMBC có

MB chung

BD=BC

MD=MC

Do đó: ΔMBD=ΔMBC