`(3n+4)/(2n+4) in ZZ`

`=>3n+4 vdots 2n+4`

`=>6n+8 vdots 2n+4`

`=>6n+12-4 vdots 2n+4`

`=>4 vdots 2n+4`

`=>2n+4 in Ư(4)={+-1,+-2,+-4}`

Vì `2n+4` là số chẵn

`=>2n+4 in {+-2,+-4}`

`=>2n in {-2,-6,0,-8}`

`=>n in {-1,-3,0,-4}`

Mà `n in NN`

`=>n=0`

Vậy n=0 thì `(3n+4)/(2n+4) in ZZ`

Để \(\dfrac{3n+4}{2n+4}\) là số nguyên thì \(3n+4⋮2n+4\)

\(\Leftrightarrow6n+8⋮2n+4\)

\(\Leftrightarrow6n+12-4⋮2n+4\)

mà \(6n+12⋮2n+4\)

nên \(-4⋮2n+4\)

\(\Leftrightarrow2n+4\inƯ\left(-4\right)\)

\(\Leftrightarrow2n+4\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

\(\Leftrightarrow2n\in\left\{-3;-5;-2;-6;0;-8\right\}\)

\(\Leftrightarrow n\in\left\{-\dfrac{3}{2};-\dfrac{5}{2};-1;-3;0;-4\right\}\)

mà n là số tự nhiên 

nên n=0

Vậy: n=0

Giải:

Để \(\dfrac{3n+4}{2n+4}\) là số nguyên thì 3n+4 ⋮ 2n+4

3n+4 ⋮ 2n+4

⇒6n+8 ⋮ 2n+4

⇒6n+12-4 ⋮ 2n+4

⇒4 ⋮ 2n+4

⇒2n+4 ∈ Ư(4)={-4;-2;-1;1;2;4}

Vì 2n+4 là số chẵn và n là số tự nhiên nên 2n+4 ∈ {2;4}

Ta có bảng giá trị:

2n+4=2 ➜n=-1 (loại)

2n+4=4 ➜n=0 (t/m)

Vậy n=0

Chúc bạn học tốt!

\(Taco::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::\)

\(GỌi:ƯCLN\left(2n+1;7n+2\right)=d\Rightarrow7\left(2n+1\right)-2\left(7n+2\right)⋮d\Rightarrow3⋮d\)

Để 2n+1 và 7n+2 nguyên tố cùng nhau thì: 2n+1 hoặc 7n+2 ko chia hết cho 3

Giả sử: 2n+1 chia hết cho 3

=> 2n+1-3 chia hết cho 3

=> 2n-2 chia hết cho 3

=> 2(n-1) chia hết cho 3=> n-1 chia hết cho 3

Giả sử: 7n+2 chia hết cho 3

=> 7n+2-9 chia hết cho 3

=>.........

Vậy với n khác 3k+1;3k+2 thì thỏa mãn

MK nhầm chỉ khác 3k+1 nha bỏ đoạn dưới

Thank you nha!

Bài 2: 

a) Ta có: \(A=\dfrac{4}{n-1}+\dfrac{6}{n-1}-\dfrac{3}{n-1}\)

\(=\dfrac{4+6-3}{n-1}\)

\(=\dfrac{7}{n-1}\)

Để A là số tự nhiên thì \(7⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\inƯ\left(7\right)\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;7\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;8\right\}\)

Vậy: \(n\in\left\{2;8\right\}\)

ta có B=2n+9/n+2-3n+5n+1/n+2=4n+10/n+2                                                   Để B là STN thì 4n+10⋮n+2                          4n+8+2⋮n+2                                  4n+8⋮n+2                                                      ⇒2⋮n+2                                     n+2∈Ư(2)                                                        Ư(2)={1;2}                                  Vậy n=0                                                                                  

Ta có: =4+6−3n−1=4+6−3�−1

Do \(2n+1\) và \(3n+1\) là các số chính phương dương nên tồn tại các số nguyên dương a,b sao cho \(2n+1\)\(=a^2\) và \(3n+1=b^2\). Khi đó ta có:

\(2n+9=25.\left(2n+1\right)-16.\left(3n+1\right)=25a^2-16b^2=\left(5a-4b\right).\left(5a+4b\right)\)

Do \(2n+9\) là nguyên tố,\(5a+4b>1\) và \(5a+4b>5a-4b\) nên ta phải có \(5a-4b=1\), tức là: \(b=\dfrac{5a-1}{4}\)

\(\Rightarrow\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\left(1\right)\\3n+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) : \(2n+1=a^2\Rightarrow n=\dfrac{a^2-1}{2}\) và a > 1 ( do n>0)

Thay vào (2): \(\dfrac{3.\left(a^2-1\right)}{2}+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\)  => (a - 1).(a - 9) = 0

=> a = 9. Từ đó ta có n = 40

Vậy duy nhất một giá trị n thỏa mãn yêu cầu đề bài là : n = 40