2.

Nhân hai vế của phương trình với 6xy:
                   6y+6x+1=xy6y+6x+1=xy
Đưa về phương trình ước số:
      x(y−6)−6(y−6)=37x(y−6)−6(y−6)=37 
⇔(x−6)(y−6)=37⇔(x−6)(y−6)=37
Do vai trò bình đẳng của xx và yy, giả sử x⩾y⩾1x⩾y⩾1, thế thì x−6⩾y−6⩾−5x−6⩾y−6⩾−5.
Chỉ có một trường hợp:
               {−6=37y−6=1⇔{=43y=7{−6=37y−6=1⇔{=43y=7
Đáp số:  (43;7),(7;43)
 

-Tham khảo:

https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=45441263315&q=T%C3%ACm%20nghi%E1%BB%87m%20nguy%C3%AAn%20c%E1%BB%A7a%20ph%C6%B0%C6%A1ng%20tr%C3%ACnh%20sau%C2%A0%5C%28x%5E6%203x%5E2%201%3Dy%5E4%5C%29

sách bài tập toán quyển 1 có đó bạn trang 18 lật ra coi thử đi

Ta thấy x,y,z bình đẳng với nhau, giả sử \(x\ge y\ge z>0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}\le\dfrac{1}{y}\le\dfrac{1}{z}\)

Ta có: \(1=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le\dfrac{3}{z}\)

\(\Leftrightarrow z\le3\)

Vậy nghiệm của pt là (x;y;z)=(6;3;2),(4;4;2),(3;3;3) và các hoán vị của nó (pt này có 10 nghiệm).

a) \(y^2=-2\left(x^6-x^3y-32\right)\Leftrightarrow2x^6-2x^3y+y^2=64\Leftrightarrow4x^6-4x^3y+2y^2=128\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^3-y\right)^2+y^2=128\)

# Chứng minh và áp dụng bất đẳng thức sau \(A^2+B^2\ge\frac{\left(A+B\right)^2}{2}\), ta có

\(\left(2x^3-y\right)^2+y^2\ge\frac{\left(2x^3-y+y\right)^2}{2}=2x^6\Leftrightarrow128\ge2x^6\Leftrightarrow x^6\le64\Leftrightarrow-2\le x\le2\)

Mà x nguyên (gt) nên x có các giá trị sau -2;-1;0;1;2

Thế các giá trị của x vào phương trình và giải tìm y ( lưu ý xét điều kiện nguyên của y)

c) \(x^2-x-6=-y^2\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+2\right)=-y^2\)

mà \(y^2\ge0\Leftrightarrow-y^2\le0\)nên \(\left(x-3\right)\left(x+2\right)\le0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-3\le0\\x+2\ge0\end{cases}}\)( do x-3 < x+2 )

\(\Leftrightarrow-2\le x\le3\)

mà x nguyên (gt) nên \(x\in\left\{-2;-1;0;1;2;3\right\}\)

Thế các giá trị x vào phương trình và giải tìm y ( lưu ý xét điều kiện nguyên của y )

câu b) mình ko biết có cách nào hay ko chứ cách mình khá dài

\(x^2-6xy+13y^2=100\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2+4y^2=100\Rightarrow4y^2\le100\Leftrightarrow-5\le y\le5\)

mà y nguyên (gt) nên \(y\in\left\{-5;-4;...;3;4;5\right\}\)

thế các giá trị y vào phương trình và giải tìm x ( lưu ý điều kiện nguyên của x )

1) Xét x=7k (k ∈ Z) thì x³ ⋮ 7

Xét x= \(7k\pm1\) thì x³ ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.

Xét x=\(7k\pm2\) thì x³ ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.

Xét x=\(7k\pm3\)\(\) thì x³ ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.

Do vế trái của pt chia cho 7 dư 0,1,6 còn vế phải của pt chia cho 7 dư 2. Vậy pt không có nghiệm nguyên.

3) a, Ta thấy x,y,z bình đẳng với nhau, không mất tính tổng quát ta giả thiết x ≥ y ≥ z > 0 <=> \(\dfrac{1}{x}\le\dfrac{1}{y}\le\dfrac{1}{z}\) ,ta có: 

\(1=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le\dfrac{3}{z}< =>z\le3\)

Kết luận: nghiệm của pt là ( x;y;z): (6:3:2), (4;4;2), (3;3;3) và các hoán vị của nó (pt này có 10 nghiệm).