Chứng minh:
1-\(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}-...-\frac{1}{2^{10}}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu\(\ge\) chỉ là lớn hơn thôi không có bằng đâu
Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
a)\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
b)\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{3}{1+xyz}\)
bai thi .....................kho..........................kho..............troi.................thilanh.............................ret..................wa.........................dau................wa......................tich....................ung.....................ho.....................cho............do.................lanh...............tho...................bang..................mom...................thi...................nhu..................hut.....................thuoc................la.................lanh wa
bai thi .....................kho..........................kho..............troi.................thilanh.............................ret..................wa.........................dau................wa......................tich....................ung.....................ho.....................cho............do.................lanh...............tho...................bang..................mom...................thi...................nhu..................hut.....................thuoc................la.................lanh wa
Cho 2 số thực x,y là các số lớn hơn hoặc bằng 1.Chứng minh rằng: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
Ta có 1+x2+1+y2=2+x2+y2,2/1+xy=2+xy. Do 2=2 nên ta cần so sánh x2+y2 với xy với x,y>=1 và x,y thuộc R.
Già sử x<y thì xy<y2 và y2<x2+y2 nên xy<x2+y2 (1)
Giả sử x>y thì xy<x2và x2<x2+y2nên xy<x2+y2(2)
Giả sử x=y thì xy=x2=y2 và x2<x2+y2 nên xy<x2+y2(3)
Kết hợp 1,2,3 suy ra xy luôn bé hơn x2+y2 . Suy ra đpcm
cho x,y,z lớn hơn hoặc bằng 1
a)\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
b)\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{3}{1+xyz}\)
a) \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow\frac{2+x^2+y^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(2+x^2+y^2\right)\left(1+xy\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2+2xy+x^2+x^3y+y^2+y^3x\ge2\left(x^2+y^2+x^2y^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3+2xy-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
Cho a, b, c lớn hơn 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{b}\) BĐT Cô-si
Tương tự suy ra đpcm
Cho a ≥1và b ≥1.Chứng minh:\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\) ≥\(\frac{2}{1+ab}\)
Dấu "="xảy ra khi nào?
BĐT tương đương :
\(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\) ( đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Ta có $P=\dfrac{x^2}{y-1}+ \frac{y^2}{x-1}$.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $1 \cdot (y-1) \le \frac{y^2}{4} \Rightarrow \frac{x^2}{y-1} \ge \frac{4x^2}{y^2}$.
Tương tự thì $\frac{y^2}{x-1} \ge \frac{4y^2}{x^2}$. Vậy $P \ge \dfrac{4x^2}{y^2}+ \frac{4y^2}{x^2} \ge 8$ theo BĐT AM-GM.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=2$. $\blacksquare$
cho a,b,c lớn hơn 0 và a+ b = 1 chứng minh: \(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\ge\frac{1}{3}\)
thật sự là mình chưa học cái này, mk ms học lớp 6 lên 7 thôi
nãy mk làm mà nó k hiện ra, giờ mk làm lại nè
\(a\cdot\frac{a}{a+1} +b\cdot\frac{b}{b+1}=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}=\frac{a^2\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^2\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)
\(=\frac{a^2b+a^2+b^2a+b^2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\frac{a^2b+a^2+b^2a+b^2}{\left(a+b\right)\left(a+1\right)}=\frac{a^2b+a^2+b^2a+b^2}{1\left(a+1\right)}=\frac{a^2b+a^2+b^2a+b^2}{b+1}\) (phân phối với theo đề a+b=1 áp dụng)
còn lại tịt
vậy hok lớp 6 mà giải lớp lớn hơn mjk khâm phục bạn lắm đó
Cho a,b lớn hơn hoặc bằng 0 chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}\) \(\ge\frac{1}{ab+1}\)
Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng
a,\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)\(\ge\)\(\frac{2}{a+b}\)+\(\frac{2}{b+c}\)+\(\frac{2}{c+a}\)
b,\(\frac{4}{a}\)+\(\frac{5}{b}\)+\(\frac{3}{c}\)\(\ge\)\(4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
b.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1); (2) và (3):
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)