abba = 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b

         = 11(91a + 10b) ⋮ 11.

Lời giải:

$Ư(50)=\left\{1; 2; 5; 10; 25; 50\right\}$

Tích các ước của 50 là:
$1.2.5.10.25.50=(1.5.10)(2.25).50=50.50.50=50^3$

Ta có đpcm.

abab=ab.100+ab=ab.101 chia hết cho 101 nên là bội của 101 

b) aaabbb=aaa.1000+bbb=a.111.1000+b.111=111(1000a+b) chia hết cho 37 ( vì 111 chia hết cho 37) 

a)\(abab=ab\cdot100+ab\cdot1=ab\cdot101\)

Vì \(101⋮101\Rightarrow ab\cdot101⋮101\Rightarrow abab⋮101\)

=>abab là bội của 101

b)\(aaabbb=111000\cdot a+b\cdot111\)

Mà \(111000⋮37\)và\(111⋮37\)

\(\Rightarrow aaabbb⋮37\)

=>37 là ước aaabbb

a) Ta có: \(\overline{abab}=\overline{ab}.101⋮101\)

\(\Rightarrow\overline{abab}⋮101\)

b) Ta có: \(\overline{aaabbb}=a.111000+111.b=111.\left(1000.a+b\right)⋮37\) ( vì \(111⋮37\) )

\(\Rightarrow\overline{aaabbb}⋮37\)

Giải :  a) Bước 1 : Gọi d \(\in\)ƯC ( a ; b ) , ta sẽ chứng minh rằng d \(\in\)ƯC ( 7a + 5b , 4a + 3b )

Thật vậy , a và b chia hết cho d nên 7a + 5b chia hết cho d , 4a + 3b chia hết cho d .

Bước 2 : Gọi d' \(\in\)ƯC ( 7a + 5b , 4a + 3b ) , ta sẽ chứng minh d' \(\in\)ƯC ( a ; b ) . 

Thật vậy , 7a + 5b và 4a + 3b chia hết cho d' nên khử b , ta được 3 ( 7a + 5b ) - 5 ( 4a + 3b ) chia hết cho d' , tức là a chia hết cho d' ; khử a ta được 7 ( 4a + 3b ) - 4 ( 7a + 5b ) chia hết cho d' , tức là b chia hết cho d' . Vậy d' \(\in\)ƯC ( a ; b ) ,

Bước 3 : Kết luận A = B 

b) Ta đã có A = B nên số lớn nhất thuộc A bằng số lớn nhất thuộc B , tức là ( a ; b ) = ( 7a + 5b , 4a + 3b ) ( ĐPCM )

a) Ta có :

\(\overline{ab}=3ab\)

\(\Leftrightarrow\)\(10a+b=3ab\)

\(\Leftrightarrow\)\(b=3ab-10a=a.\left(3b-10\right)\)

Ta thấy \(b=a.\left(3b-10\right)\)\(\Rightarrow\)\(b⋮a\)

b) Ta có :

\(10a+b=3ab\)

\(\Leftrightarrow\)\(10a+ak=3ka^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(a.\left(10+k\right)=3ka^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(10+k=3ak\)

\(\Leftrightarrow\)\(10=3ak-k\)

\(\Leftrightarrow\)\(10=k.\left(3a-1\right)\)

Vì \(10=k.\left(3a-1\right)\)nên \(k\inƯ\left(10\right)\)

aaabbb = 333777 

Ta có ababab = 10101 x ab mà 10101 chia hết cho 1443 (10101=1443 x 70) nên 1443 là ước của số có dạng ababab.

ababab = 10101 . ab  =  1443 . 7 .ab  nên 1443 là ước của số có dạng ababab

Lời giải:
$(x-2)(x+5)+11=x^2+3x-10+11=x^2+3x+1$

Nếu $x=3k$ với $k\in\mathbb{N}$ thì:

$x^2+3x+1=(3k)^2+3.3k+1=9k^2+9k+1\not\vdots 9$

Nếu $x=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}$ thì:

$x^2+3x+1=(3k+1)^2+3(3k+1)+1=9k^2+15k+5\not\vdots 3$ nên $x^2+3x+1\not\vdots 9$

Nếu $x=3k+2$  với $k\in\mathbb{N}$ thì:

$x^2+3x+1=(3k+2)^2+3(3k+2)+1=9k^2+21k+11\not\vdots 3$ nên $x^2+3x+1\not\vdots 9$

Vậy $9$ không thể là ước của $(x-2)(x+5)+11$