a: \(A=\left(2x+\dfrac{1}{3}\right)^4-1\ge-1\)

Dấu '=' xảy ra khi x=-1/6

b: \(B=-\left(\dfrac{4}{9}x-\dfrac{2}{15}\right)^6+3\le3\)

Dấu '=' xảy ra khi 4/9x-2/15=0

hay x=2/15:4/9=2/15x9/4=18/60=3/10

Hai bài này có mấy cái bình phương sẵn rồi nên chỉ sài cái bất đẳng thức \(A^2\ge0\)là được rồi

a/Ta có \(\left(2x+\frac{1}{3}\right)^4\ge0\)

Do đó \(\left(2x+\frac{1}{3}\right)^4-1\ge0-1\)

\(\Leftrightarrow A\ge-1\)

Tới đây vì A lớn hơn hoặc bằng -1 nên giá trị nhỏ nhất của A là -1

Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là -1

b/Bạn làm hệt như câu a, với lại nếu bạn suy ra \(A\ge-1\)thì bạn kết luận luôn Giá trị nhỏ nhất của A là -1

eeeee

e cái gì là em bé à

1/ Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{2^2}{4}=\frac{4}{4}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

Máy mình bị lỗi nên ko nhìn được các bài tiếp theo

Chúc bạn học tốt :)

Ta có : x+y=2 => x=2-y. Thay vào bt ta đc : xy= (2-y).y = 2y -y^2    

Vì y^2 >= 0 =>2y-y^2 nhỏ hơn hoặc bằng 0

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz và Cauchy ta có:

\(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

\(\ge\frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2\cdot\frac{9}{b^2+c^2}\) (Cauchy - Schwarz)

\(=\left(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}\right)+8\cdot\frac{a^2}{b^2+c^2}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}\cdot\frac{a^2}{b^2+c^2}}+8\cdot\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}\) (BĐT Cauchy)

\(=2+8=10\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\sqrt{2}=c\sqrt{2}\)

Vậy Min(P) = 10 khi \(a=b\sqrt{2}=c\sqrt{2}\)

\(C=\dfrac{x+2}{\left|x\right|}\left(đk:\left|x\right|\ne0\right)\)

\(\left|x\right|\ge0\forall x\)

\(MAX_C\Rightarrow MNI_X\)

\(x\ne0\Rightarrow x=1\)

\(\Rightarrow MAX_C=\dfrac{1+2}{\left|1\right|}=3\)

Áp dụng BĐT:

\(\left|A\right|+\left|B\right|\ge\left|A+B\right|\) ta có:

\(A\ge\left|x+8-x\right|\)

\(A\ge8\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\8-x\ge0\Rightarrow x\le8\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\8-x< 0\Rightarrow x>8\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy xảy ra khi:

\(0\le x\le8\)

Xài BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:

\(A=\left|x\right|+\left|8-x\right|\ge\left|x+8-x\right|=8\)

Khi \(0\le x\le 8\)

\(D=\dfrac{1}{\left|x-2\right|+3}\)

T a thấy : |x-2|+3 luôn lớn hơn hoặc bằng 3 với mọi x

=> \(\dfrac{1}{\left|x-2\right| +3}\) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1/3

Dấu bằng xảy ra <=> x-2=0 => x=2

Vậy GTLN của biểu thức D là 1/3 tại x=2

Giải:

a) \(A=10-4\left|x-2\right|\)

Vì \(\left|x-2\right|\ge0\)

\(\Leftrightarrow4\left|x-2\right|\ge0\)

\(\Leftrightarrow A=10-4\left|x-2\right|\le10\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 10.

\(\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

b) \(B=x-\left|x\right|\)

Vì \(\left|x\right|\ge0\)

\(\Leftrightarrow B=x-\left|x\right|\le0\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là 0.

\(\Leftrightarrow x=0\)

c) \(C=5-\left|2x-1\right|\)

Vì \(\left|2x-1\right|\ge0\)

\(\Leftrightarrow C=5-\left|2x-1\right|\le5\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức C là 5.

\(\Leftrightarrow2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

d) \(D=\dfrac{1}{\left|x-2\right|+3}\)

Để biểu thức D đạt giá trị lớn nhất thì \(\left|x-2\right|+3\) phải đạt giá trị bé nhất

Mà \(\left|x-2\right|\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left|x-2\right|+3\ge3\)

\(\Rightarrow\) giá trị lớn nhất của \(\left|x-2\right|+3\) là 3

\(\Leftrightarrow D=\dfrac{1}{\left|x-2\right|+3}\le\dfrac{1}{3}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức D là \(\dfrac{1}{3}\).

\(\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

Chúc bạn học tốt!

C= 5-|2x-1|

Vì |2x-1| luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x

nên 5- |2x-1| luôn nhỏ hơn hoặc bằng 5 với mọi x hay C nhỏ hơn hoặc bằng 5

Dấu = xảy ra <=> 2x-1=0

<=> x=1/2

Vậy GTLN của biểu thức C là 5 tại x=1/2

Câu 3 : 

\(a,A=\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right):\frac{2x}{5x-5}\)  ĐKXđ : \(x\ne\pm1\)

\(A=\left(\frac{\left(x+1\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{\left(x-1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\right):\frac{2x}{5\left(x-1\right)}\)

\(A=\left(\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right).\frac{5\left(x-1\right)}{2x}\)

\(A=\frac{4x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{5\left(x-1\right)}{2x}\)

\(A=\frac{10}{x+1}\)

\(B=\left(\frac{x}{3x-9}+\frac{2x-3}{3x-x^2}\right).\frac{3x^2-9x}{x^2-6x+9}.\)

ĐKXđ : \(x\ne0;x\ne3\)

\(B=\left(\frac{x}{3\left(x-3\right)}+\frac{2x-3}{x\left(3-x\right)}\right).\frac{3x\left(x-3\right)}{x^2-6x+9}\)

\(B=\left(\frac{x^2}{3x\left(x-3\right)}+\frac{9-6x}{3x\left(x-3\right)}\right).\frac{3x\left(x-3\right)}{x^2-6x+9}\)

\(B=\frac{x^2-6x+9}{3x\left(x-3\right)}.\frac{3x\left(x-3\right)}{x^2-6x+9}=1\)