3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).

\(M=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=\frac{6}{\left(x+y\right)^2}=6\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

min P=2,5 khi x=1, y= 2.

ta đi chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)(tự chứng minh nhé, nhân chéo lên xong phân tích ra nó sẽ ra (a-b)^2/ab lớn hơn bằng 0)

\(M=\frac{18}{2xy}+\frac{17}{x^2+y^2}\ge\frac{17.4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{2xy}\)

Chứng minh được \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\forall x,y>0\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{68}{16^2}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{17}{64}+\frac{2}{16^2}=\frac{35}{128}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=8

1) Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

\(\Rightarrow Min\)\(A=2\Leftrightarrow a=b\)

2) Ta có : xy < 0 => Một trong hai số x,y tốn tại một số âm và một số dương.

Ta xét hai trường hợp : 

1. Với \(x< 0< y\), ta có : 

\(P=\frac{xy}{\left|xy\right|}+\frac{x-y}{\left|x-y\right|}\left(\frac{x}{\left|x\right|}+\frac{y}{\left|y\right|}\right)=\frac{xy}{-xy}+\frac{x-y}{-\left(x-y\right)}\left(\frac{x}{-x}+\frac{y}{y}\right)=-1-1\left(-1+1\right)=-1\)

2. Với \(y< 0< x\) ta có : 

\(P=\frac{xy}{\left|xy\right|}+\frac{x-y}{\left|x-y\right|}\left(\frac{x}{\left|x\right|}+\frac{y}{\left|y\right|}\right)=\frac{xy}{-xy}+\frac{x-y}{x-y}\left(\frac{x}{x}+\frac{y}{-y}\right)=-1+1.\left(1-1\right)=-1\)

Vậy ta kết luận : Với xy<0 thì giá trị của P là : -1

Lời giải phía trên sai rồi. Biểu thức (mình đặt là A) sẽ bằng \(\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)

Ta biển đổi \(A=\frac{1}{4}.\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{3}{4}.\frac{x^2+y^2}{xy}\)

Thực hiện BĐT Cauchy 2 lượng đầu, lượng cuối cùng dùng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\)

Vậy giá trị nhỏ nhất là \(\frac{5}{2}\)

Bài này thiếu điều kiện x,y > 0. Nếu có điều kiện thì quy đồng \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}\) rồi áp dụng bất đẳng thức Cô-si được A \(\ge\)2

\(M=\frac{x^2+9y^2}{xy}-\frac{8y^2}{xy}\)

\(\ge\frac{2\sqrt{9x^2y^2}}{xy}-\frac{8.y.y}{xy}\)

\(\ge6-\frac{8.\frac{x}{3}.y}{xy}=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 3y.

Vậy..

\(x\ge3y\Leftrightarrow\frac{x}{y}\ge3\)

\(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

\(\text{Đặt}\frac{x}{y}=a\Rightarrow a\ge3,M=a+\frac{1}{a}\)

Dùng điểm rơi a=3

\(M=\frac{8}{9}a+\frac{1}{9}a+\frac{1}{a}\ge\frac{8}{9}a+\frac{2}{3}\ge\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)

2. Có hai cách nhé

Cách 1: P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x² - 24x + 3y² + 18y + 36 
--> P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x(x - 2) + 3y(y + 6) + 36 
--> P = [ 12x(x - 2) + 36 ] + xy(x - 2)(y + 6) + 3y(y + 6) 
--> P = 12[x(x - 2) + 3] + y(y + 6).[x(x - 2) + 3] 
--> P = [x(x - 2) + 3].[y(y + 6) + 12] 
--> P = (x² - 2x + 3)(y² + 6y + 12) 
--> P = [(x - 1)² + 2].[(y + 3)² + 3] ≥ 2.3 = 6 > 0 

Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 1 ; y = -3 
Vậy MinP = 6 ⇔ x = 1 ; y = -3 

Cách 2: P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x² - 24x + 3y² + 18y + 36 
--> P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x(x - 2) + 3(y + 3)² + 9 
--> P = x(x - 2)[y(y - 6) + 12] + 3(y + 3)² +9 
--> P = x(x - 2)[(y + 3)² + 3] + 3(y + 3)² + 9 
--> P = x(x - 2)(y + 3)² + 3x(x - 2) + 3(y + 3)² + 9 
--> P = (y + 3)²[x(x - 2) + 3] + 3x(x - 2) + 9 
--> P = (y + 3)²[(x - 1)² + 2] + 3x² - 6x + 9 
--> P = (y + 3)²(x - 1)² + 2(y + 3)² + 3(x - 1)² + 6 ≥ 6 

Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 1 ; y = -3 
Vậy MinP = 6 ⇔ x = 1 ; y = -3 

P/S: MinP = 6 > 0 ∀ x, y ∈ R --> P luôn dương ∀ x, y ∈ R 
Mình nghĩ phần CM: "P luôn dương với mọi x,y thuộc R." là hơi thừa :-) 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Ta có : \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)    (*)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2}+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)   (**)

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow t\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)

Vậy thì \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2=t^2-3t+2=\left(t-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)

\(\ge\left(2-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}=0\)

Vậy bất đẳng thức  (**) đúng hay bất đẳng thức (*) đúng