Không mất tính tổng quát giả sử \(x^2\ge y^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2y^2\Leftrightarrow2y^2\le100\)

\(\Rightarrow y^2\le50\)

\(\Rightarrow y^2\in\left\{0;1;4;9;16;25;36;49\right\}\)
\(\circledast y^2=0\Leftrightarrow x^2=100\Leftrightarrow x=\pm10\) (chọn)

\(\circledast y^2=1\Leftrightarrow x^2=99\)(loại)

\(\circledast y^2=4\Leftrightarrow x^2=96\)(loại)

\(\circledast y^2=9\Leftrightarrow x^2=91\)(loại)

\(\circledast y^2=16\Leftrightarrow x^2=84\)(loại)

\(\circledast y^2=25\Leftrightarrow x^2=75\)(loại)

\(\circledast y^2=36\Leftrightarrow x^2=64\Leftrightarrow x=\pm8\) (\(y=\pm6\)) (chọn)

\(\circledast y^2=49\Leftrightarrow x^2=51\)(loại)

Vậy các cặp x;y thỏa mãn là: \(\left(x;y\right)\rightarrow\left(0;\pm10\right);\left(8;\pm6\right)\)và hoán vị

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\).

Khi đó ta có: \(13=xyz+x^2+y^2+z^2\ge z^3+3z^2\)

suy ra \(z=1\). 

\(12=xy+x^2+y^2\ge y^2+y^2+y^2=3y^2\)

\(\Rightarrow y=1\)hoặc \(y=2\).

Với \(y=1\): \(x^2+1+1+x=13\Leftrightarrow x^2+x-11=0\)không có nghiệm nguyên dương. 

Với \(y=2\): \(x^2+2^2+1^2+1.2.x=13\Leftrightarrow x^2+2x-8=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+4\right)=0\)

\(\Rightarrow x=2\)thỏa mãn. 

Vậy phương trình có nghiệm là \(\left(1,2,2\right)\)và các hoán vị. 

X=3

Y=5

x²+x+13=y²<=>4(x²+x+13)=4y²<=>4x²+4x+52=4y²<=>(4x²+4x+1)+51=4y²

<=>(2x+1)²+51=(2y)²<=>(2y)²-(2x+1)²=51<=>(2y-2x-1)(2y+2x+1)=51

đến đây giải kiểu pt ước số

\(x^2=y^2+2y+13\)

\(\Leftrightarrow x^2=\left(y^2+2y+1\right)+12\)

\(\Leftrightarrow x^2=\left(y+1\right)^2+12\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(y+1\right)^2=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right).\left(x+y+1\right)=12\)

do x,y nguyên dương nên \(x-y-1;x+y+1\inƯ\left(12\right)=\left\{1;2;3;4;6;12\right\}\)

xy nguyên dương \(\Rightarrow x+y+1>x-y-1\)

từ đó ta có bẳng sau

vậy cặp giá trị (x;y) thỏa mãn là:x=4;y=1

Có:x^2=y^2+2y+13

=>x^2=(y^2+2y+1)+12

=>x^2=(y+1)^2+12

=>x^2-(y+1)^2=12

=>(x-y-1)(x+y+1)=12

vì x, y là các số nguyên dương

=>x-y-1<x+y+1

Xét các trường hợp

TH1:x-y-1=1 và x+y+1=12

=> x-y=2 và x+y=11

=>x=6.5 và y=4.5 (Loại vì x,y là các số nguyên dương)

TH2: x-y-1=2 và x+y+1=6

=>x-y=3 và x+y=5

=>x=4 và y=3 (Thỏa mãn)

TH3:x-y-1=3 và x+y+1=4

=>x-y=4 và x+y=3(Loại vì x-y<x+y)

Vậy x=4, y=3

\(x^2=y^2+2y+13\)

\(x^2=y^2+2y+1+12\)

\(x^2=\left(y+1\right)^2+12\)

\(x^2-\left(y+1\right)^2=12\)

\(\left(x-y-1\right)\left(x+y+1\right)=12\)

Vì \(x,y\in N\Rightarrow x+y+1>x-y-1\)

Mà \(\left(x-y-1\right),\left(x+y+1\right)\inƯ\left(12\right)\)

Đến đây lập bảng là xog r bạn.

x² - 25 = y(y + 6)

<=> x² - 25 = y² + 6y

<=> x² - 25 - y² - 6y = 0

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{6y+y^2+25}\\y=\sqrt{x^2-25-6y}\end{matrix}\right.\)