tam giác abc nhọn các đường cao bm và cn cắt nha tại h i k lần lượt là trng điểm của bc và mn chúng minh góc bai bằng góc cak
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và đường cao BM, CN cắt nhau tại H. a) Chứng minh tam giác AHN đồng dạng tam giác CBN, từ đó suy ra AH.CN = BC.AN. b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt IK tại E. Chứng minh IK // AE. c) Chứng minh IK là trung trực của MN d) Khi tam giác ABC có cạnh BC cố định, điểm A thay đổi nhưng sao cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh BH.BM + CH.CN có giá trị không đổi.
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có hai đường cao \(BM,CN\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\).
b) Phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt \(MN\) và \(BC\) lần lượt tại \(I\) và \(K\). Chứng minh rằng \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\).
a) Vì \(BM\)là đường cao nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \); vì \(CN\)là đường cao nên \(\widehat {ANC} = 90^\circ \)
Xét tam giác \(AMB\) và tam giác \(ANC\) có:
\(\widehat A\) (chung)
\(\widehat {ANB} = \widehat {ANC} = 90^\circ \) (chứng minh trên)
Suy ra, \(\Delta AMB\backsim\Delta ANC\) (g.g).
Suy ra, \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ).
Do đó, \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (tỉ lệ thức)
Xét tam giác \(AMN\) và tam giác \(ABC\) có:
\(\widehat A\) (chung)
\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (chứng minh trên)
Suy ra, \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\) (c.g.c).
b) Xét tam giác \(AMN\) có \(AI\) là đường phân giác của \(\widehat {MAN}\left( {I \in MN} \right)\).
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{AM}}{{AN}}\)
Xét tam giác \(ABC\) có \(AK\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\left( {K \in BC} \right)\).
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)
Mà \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (chứng minh trên) nên \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\) (điều phải chứng minh).
Bài 1 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H . Đường thẳng BE và CF cắt (O) lần lượt tại M và N . Trên cung nhỏ BC lấy 1 điểm I bất kỳ , IN cắt AB tại P và IM cắt AC tại Q . Chứng minh : 3 điểm P,H,Q thẳng hàng
Bài 2 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G .Đường thẳng BM và CN cắt (O) lần lươt tại D và E . Trên cung nhỏ BC lấy 1 điểm I bất kỳ , IE cắt AB tại P và ID cắt AC tại Q . Chứng minh : 3 điểm P,G,Q thẳng hàng
Bài 3 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) có 2 đường phân giác BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại K . Đường thẳng BM và CN cắt (O) tại E và F . Trên cung nhỏ BC lấy 1 điểm I bất kỳ , IF cắt AB tại P và IE cắt AC tại Q .Chứng minh : 3 điểm P,K,Q thẳng hàng
Lưu ý : bài toán số 2 và 3 được khai thác và mở rộng từ bài toán số 1 , một điều thú vị nữa là các bài toán 1,2,3 có nội dung tương đối giống nhau
Nguon : Near Ryuzaki - VMF
Lam ho mik bai 2+3 nha
Cả 3 bài này đều sử dụng định lí Pascal
B1: Với các điểm: NAMCIB cùng thuộc đường tròn (O)
NC cắt BM tại H; NI cắt AB tại P ; MI cắt AC tại Q
=> P; H ; Q thẳng hàng
B2: Xét các điểm ADCIBE cùng thuộc đường tròn (O)
B3: Tương tự.
Cho △ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) (AB<AC). Các đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Gọi P là giao điểm của MN và BC. Đường thẳng AP cắt (O) tại K,Gọi I là trung điểm của BC.Chứng minh H,K,I thẳng hàng.thank m,n
ΔPKN đồng dạng với ΔPMA
=>góc PKN=góc PMH
=>AKNM nội tiếp
mà góc ANH=góc AMH=90 độ
nên ANHM nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>góc AKH=góc ANH
=>AK vuông góc KH
Kẻ đường kính AI' của (O)
=>I'K vuông góc AK
=>K,H,I' thẳng hàng
AC vuông góc CI' AB vuông góc BI'
=>CI'//BH và BI'//CH
=>BHCI' là hình bình hành
=>K,H,I thẳng hàng
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao AD, BM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi O là trung điểm của BC, E là điểm đối xứng của H qua O. Kẻ CF vuông góc với BE tại F. Gọi K,L, R lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ N đến AC, AD, BC. Gọi giao điểm của DM và CN là S. CMR:
1. Ba điểm K, L, R thẳng hàng
2. HN.CS = NC.SH
3. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, kẻ đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng AI tại P, đường thẳng CP cắt đường thẳng AO tại Q. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng IQ. CMR: đường thẳng PG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC). Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại N, M. Gọi H là giao điểm của BM vfa CN; AH cắt BC tại K.
a) Chứng minh tứ giác ANKC nội tiếp
b) Gọi I là giao điểm của NK và BM. Chứng minh: IH.NM=IN.MH
c) Chứng minh tứ giác NKOM nội tiếp
CHO TAM GIÁC NHỌN ABC CÓ AB NHỎ HƠN AC. CÁC ĐƯỜNG CAO AD , BM VÀ CN CỦA TAM GIÁC ABC CẮT NHAU TẠI H. QUA D KẺ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MN CẮT AB VÀ AC LẦN LƯỢT TẠI E,F . GỌI K LÀ GIAO ĐIỂM CỦA AD VÀ MN. CHỨNG MINH RẰNG AH/DH+1=AK/HK. Giúp mik với mai kiểm tr rồi
Cho Tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB<AC) . Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại N, M. Gọi H là giao điểm của BM và CN, D là giao điểm của AH và BC. GỌi S là giao điểm của MN và BC. Qua S kẻ tiếp tuyến SK với (O).
Chứm minh ba điểmA,D,K thẳng hàng
Bài 4. Cho tam giác ABC có góc A bằng 60o , đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Nối AH cắt BC tại K. BiếtAC = 8cm .
a) Tính AN, NC và số đo các góc ABM và BHC.
b) Chứng minh rằng AK ^ BC, MBC = CAK .
c) Gọi I là trung điểm của BC, Chứng minh rằng tam giác MIN đều.