Lời giải:

a. $4\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow 4^{20}\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow 4^{20}-1\equiv 0\pmod 3$

Hay $4^{20}-1\vdots 3$. Mà $4^{20}-1>3$ nên nó là hợp số (đpcm)

b.

$1000001=10^6+1=(10^2)^3+1=(10^2+1)(10^4-10^2+1)$ là hợp số (đpcm)

a) Ta có: a+2

   mà a=100

Suy ra: =100+2=102

mà 102=2x3x17

Nếu là hợp số thì có thể phân tích ra thừa số nguyên tố

Vì thế a+2 là hợp số

b) Sai đề rùi bạn ơi. Chứng minh a+3 là số nguyên tố cơ

câu b la 1; 3;5;7;9

a)Ta có:a=100! chia hết cho 2 

                    2 chia hết cho 2

\(\Rightarrow a+2\)chia hết cho 2 và \(a+2>2\)nên a+2 là hợp số 

Vậy a+2 là hợp số

b)Ta có:a+100! chia hết cho 3

                    3 chia hết cho 3

\(\Rightarrow a+3\)chia hết cho 3 và \(a+3>3\)nên a+3 là hợp số 

Vậy a+3 là hợp số

a) \(A=\left\{101;103;...;999\right\}\)

Số lượng phần tử:

\(\left(999-101\right):2+1=450\) (phần tử)

b) \(B=\left\{2;5;8;...;302\right\}\)

Số lượng phần tử:

\(\left(302-2\right):3+1=101\) (phần tử)

c) \(C=\left\{7;11;15;19;...;279\right\}\)

Số lượng phần tử:

\(\left(279-7\right):4+1=69\) (phần tử)

 a=11...1:2n số 1 nên a=(10^2n - 1)/9 
b=11...1:n+1 số 1 nên b=[10^(n+1) - 1]/9 
c=66...6:n số 6 nên c=6*(10^n -1)/9 
a+b+c+8=(10^2n - 1)/9 + [10^(n+1) - 1]/9 + 6*(10^n -1)/9 +72/9 
=(10^2n - 1 + 10*10n -1 +6*10^n - 6 + 72)/9 
=[ (10^n)^2 + 2*10^n(5+3) +64]/9 
=[ (10^n)^2 + 2*8*10^n + 8^2]/9 
= (10^n + 8 )^2/9 
= [(10^n + 8 )/3]^2 
vì 10^n +8=100...0 +8:tổng các chữ số chia hết cho 3 nên (10^n + 8 )/3 là 1 số nguyên =>[(10^n + 8 )/3]^2 là số chính phương

a=1.....1(2n số 1)=1....1(n số 1).${10}^n$ +1...1(n số 1)
b=1...1(n+1 số 1)=1...1(n số 1).10+1
c=6...6(n số 6)=6.1...1(n số1)
Đặt m=1...1(n số 1) $\Rightarrow$ ${10}^n$ =9m+1
a+b+c+8=m.(9m+2)+10m+1+6m+8=9m^2+18m+9=(3m+3)^2 là số chính phương

\(89999......9999=900....000-1=9.10^{2004}-1=\left(3.10^{1002}\right)^2-1\)

\(=\left(3.10^{1002}-1\right)\left(3.10^{1002}+1\right)\) là hợp số