3:

Xét tứ giác ABDC có

N là trung điểm chung của AD và BC

=>ABDC là hình bình hành

=>AB=CD: AB//CD

a: Xét ΔABC và ΔADE có

AB=AD

\(\widehat{BAC}=\widehat{DAE}\)(hai góc đối đỉnh)

AC=AE

Do đó: ΔABC=ΔADE

b: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKD vuông tại K có

AB=AD

\(\widehat{ABH}=\widehat{ADK}\)(ΔABC=ΔADE)

Do đó: ΔAHB=ΔAKD

=>BH=DK

c: Ta có: ΔAHB=ΔAKD

=>\(\widehat{HAB}=\widehat{DAK}\)

mà \(\widehat{HAB}+\widehat{HAD}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{DAK}+\widehat{DAH}=180^0\)

=>K,A,H thẳng hàng

C1 :

Hình : tự vẽ 

a )Vì CA=CB ( đề bài cho ) => tam giác ABC cân tại C

                                       mà CI vuông góc vs AB => CI là đường cao của tam giác ABC 

=> CI cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC ( t/c tam giác cân )

=> IA=IB (đpcm)

C1 : 

b) Có IA=IB ( cm phần a ) 

mà IA+IB = AB 

      IA + IA = 12 (cm)

=> IA = \(\frac{12}{2}=6\left(cm\right)\)

Xét tam giác vuông CIA có :     CI²  +   IA²  = CA²  ( Đ/l Py-ta -go )

                                                   CI² +  6²     = 10²

                                                          CI²       = 10²  - 6² = 64

=> CI = \(\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)

Vậy CI ( hay IC ) = 8cm

Cm: a) Xét t/giác ACE và t/giác AKE

có: \(\widehat{ACE}=\widehat{AKE}=90^0\) (gt)

   AE : chung

 \(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\) (gt)

=> t/giác ACE = t/giác AKE (ch - gn)

=> AC = AK ; EC = EK (các cặp cạnh t/ứng)

Ta có: +) AC = AK (cmt) => A thuộc đường trung trực của CK

   +) EC = EK (cmt) => E thuộc đường trung trực của CK

Mà A \(\ne\)E => AE là đường trung trực của CK

=> AE \(\perp\)CK

b) Xét t/giác ABC có góc C = 90⁰

=> \(\widehat{A}+\widehat{ABC}=90^0\)

=> \(\widehat{ABC}=90^0-\widehat{A}=90^0-60^0=30^0\)

Ta có: \(\widehat{CAE}=\widehat{EAB}=\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{60^0}{2}=30^0\)

=> \(\widehat{EAB}=\widehat{ABE}=30^0\) => t/giác ABE cân tại E

=> AE = EB

=> AK = KB (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

(có thể xét qua 2 t/giác AEK và t/giác BEK)

c) Xét t/giác EKB có góc EKB = 90 độ

=> EB > KB (ch > cgv)

Mà KB = AK (Cmt); AK = AC (vì t/giác ACE = t/giác AKE)

=> EB > AC 

d) Ta có: AC \(\perp\)BC \(\equiv\)C

     KE\(\perp\)AB \(\equiv\)K

      BD \(\perp\)AD \(\equiv\)D

=> AC, BD. KE đi qua 1 điểm (t/c 3 đường cao)

a) Ta có : \(\widehat{BAC}=60^0\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\widehat{B_1}=30^0.\)

\(\Delta ACE=\Delta AKE\left(CH-GN\right)\Rightarrow AC=AK\)=> \(\Delta ACK\)cân tại A => AE vừa là phân giác, vừa là trung tuyến => \(AE\perp CK\).

b) Từ câu a) => \(\Delta AEB\)cân tại E => AE = EB ; EK vừa là đường cao, vừa là trung tuyến => KA = KB.

c) Ta có AK \(\perp\)EK, theo quan hệ giũa đường vuông góc và đường xiên, ta có : AE > AK <=> AE > AC (vì AK = AC) <=> EB > AC (vì EB = AE).

d) Xét \(\Delta AEB\)có : \(BD\perp AE,AC\perp BE,EK\perp AB\)=> BD, AC, EK là ba đường cao của tam giác AEB => chúng đồng quy (theo tính chất ba đường cao trong tam giác).