Câu 2 (Bổ Sung) : Chứng minh tam giác đã cho là tam giác đều

a: \(\left|a-2b+3\right|^{2023}>=0\forall a,b\)

\(\left(b-1\right)^{2024}>=0\forall b\)

Do đó: \(\left|a-2b+3\right|^{2023}+\left(b-1\right)^{2024}>=0\forall a,b\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-2b+3=0\\b-1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=2b-3=2\cdot1-3=-1\end{matrix}\right.\)

Thay a=-1 và b=1 vào P, ta được:

\(P=\left(-1\right)^{2023}\cdot1^{2024}+2024=2024-1=2023\)

Bài làm có sử dụng các bổ đề: số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1. Số chính phương chia 5 dư 0, 1 hoặc 4. Số chính phương chia hết cho p (p là số nguyên tố) thì phải chia hết cho p². 
~~~~~~~~~ 
a) - Nếu a hoặc b chia hết cho 3 => abc chia hết cho 3. 
- Nếu a không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 => a² chia 3 dư 1, b² chia 3 dư 1 => c² chia 3 dư 2 (vô lí) 
Vậy trường hợp a không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 không xảy ra => abc chia hết cho 3 (*) 
b) - Nếu a, b cùng chẵn => ab chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4. 
- Nếu a, b cùng lẻ => a = 2t + 1; b = 2k + 1 (t; k thuộc N) 
=> a² + b² = (2t +1)² + (2k + 1)² = 4t² + 4t + 4k² + 4k + 2 = 4(t² + t + k² + k) + 2 => a² + b² chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 => c² chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vô lí) 
Vậy trường hợp a, b cùng lẻ không xảy ra. 
- Nếu a lẻ, b chẵn => c lẻ. Đặt a = 2m + 1; b = 2n; c= 2p + 1. (m, n, p thuộc N). 
=> a² + b² = c² 
<=> (2m + 1)² + (2n)² = (2p + 1)² 
<=> 4m² + 4m + 1 + 4n² = 4p² + 4p + 1 
<=> n² = p² + p - m² - m 
<=> n² = p(p + 1) - m(m + 1). 
p(p + 1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => p(p + 1) chia hết cho 2. Cmtt => m(m + 1) chia hết cho 2 => p(p + 1) - m(m + 1) chia hết cho 2 => n² chia hết cho 2 => n chia hết cho 2 => b chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4. 
- Nếu a chẵn, b lẻ. Cmtt => a chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4. 
Vậy abc chia hết cho 4 (**) 
c) - Nếu a hoặc b chia hết cho 5 => abc chia hết cho 5. 
- Nếu a không chia hết cho 5 và b không chia hết cho 5 => a² chia 5 dư 1 hoặc 4; b² chia 5 dư 1 hoặc 4. 
+ Nếu a² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 1 => c² chia 5 dư 2 (vô lí) 
+ Nếu a² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 4=> c² chia 5 dư 0 => c chia hết cho 5. 
+ Nếu a² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 1 => c² chia 5 dư 0 => c chia hết cho 5. 
+ Nếu a² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 4 => c² chia 5 dư 3 (vô lí). 
Vậy ta luôn tìm được một giá trị của a, b, c thỏa mãn abc chia hết cho 5. (***) 
Từ (*), (**), (***), mà 3, 4, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau => abc chia hết cho 3.4.5 hay abc chia hết cho 60 => abc chia het cho 3
~~~~~~ 
Chúc bạn học giỏi!

a. 3

b. 122/99

c.110

d.1

đ.120

e13/17

a.3

b. 1,(23) = 1 + 0,(23) = 1 + 23 . 0,(01) = 1+ 23 . 1/99 = 1 + 23/99 = 122/99

c.110

Hỏi gì hỏi lắm

Do $(2023-x{)}^2\ge 0$ với mọi $x$ nên:

$3(y-3{)}^2=16-(2023-x{)}^2\le 16<18$

$\Rightarrow (y-3{)}^2<6$

Mà $(y-3{)}^2\ge 0$ và $(y-3{)}^2$ là số chính phương với mọi $y$ nguyên.

$\Rightarrow (y-3{)}^2=0$ hoặc $(y-3{)}^2=4$

Nếu $(y-3{)}^2=0$ thì $y=3$.

Khi đó: $(2023-x{)}^2=16-{3.0}^2=16$

$\Rightarrow 2023-x=4$ hoặc $2023-x=-4$

$\Rightarrow x=2019$ hoặc $x=2027$

Nếu $(y-3{)}^2=4\Rightarrow y-3=2$ hoặc $y-3=-2$

$\Rightarrow y=5$ hoặc $y=1$
Khi đó:

$(2023-x{)}^2=16-3.4=4=2^2=(-2{)}^2$
$\Rightarrow 2023-x=2$ hoặc $2023-x=-2$

$\Rightarrow x=2021$ hoặc $x=2025$