a) thu gọn biểu thức sau: a= 5 - 5^2 + 5^3 - 5^4 +...- 5^98 + %^99
b) chứng minh rằng với mọi n thuộc N thì (2^n+1).(2^n+2) đều chia hết cho 3
c) chúng minh: A= 1/1^2 + 1/2^2+ 1/3^2+.....+1/99^2+ 1/100^2 < 1 3/4 (hỗn số)
1, cho a và b là 2 số tự nhiên. Biết a chia cho 3 dư 1 , b chia cho 3 dư 2. Chứng minh rằng ab chia cho 3 dư 2
2, chứng minh rằng biểu thức n(2n-3)-2n(n+1) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n
3, chứng minh rằng biểu thức (n-1)(3-2n)-n(n+5) chia hết cho 3 với mọi giá trị của n
BN thử vào câu hỏi tương tự xem có k?
Nếu có thì bn xem nhé!
Nếu k thì xin lỗi đã làm phiền bn
Hội con 🐄 chúc bạn học tốt!!!
Chứng minh rằng:
a. n^3+3n^2+2n chia hết cho 6 với mọi n thuộc Z
b. A=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+....+2^98+2^99 chia hết cho 31
c. 49^n+77^n-29^n-1 chia hết cho 48
giúp mik với mik cần gấp
a) Ta có : n3 + 3n2 + 2n
= n(n2 + 3n + 2)
= n(n + 1)(n + 2) \(⋮\)6 (tích 3 số nguyên liên tiếp) (đpcm)
b) A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + .... + 295 + 296 + 297 + 298 + 299
= (1 + 2 + 22 + 23 + 24) + 25(1 + 2 + 22 + 23 + 24) + ... + 295(1 + 2 + 22 + 23 + 24)
= 31 + 25.31 + .. + 295.31
= 31(1 + 25 + ... + 295) \(⋮31\)(đpcm)
c) Ta có 49n + 77n - 29n - 1
= (49n - 1) + (77n - 29n)
= (49 - 1)(49n - 1 - 49n - 2 + .... - 1) + (77 - 29)(77n - 1 - 77n - 2.29 + 77n- 3.292 - .... - 1)
= 48(49n - 1 - 49n - 2 + .... - 1) + 48(77n - 1 - 77n - 2.29 + 77n- 3.292 - .... - 1)
= 48(49n - 1 - 49n - 2 + .... - 1 + 77n - 1 - 77n - 2.29 + 77n- 3.292 - .... - 1) \(⋮\)48 (đpcm)
Bài 1: CM đẳng thức sau:
(x^2-xy+y^2)(x+y)=x^3+y^3.
Bài 2: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến :
(x^2+2x+3)(3x^2-2x+1)-3x^2(x^2+1)-4x(x-1).
Bài 3: Tìm x biết :
(3x-1)(2x+7)-(x+1)(6x-5)=16.
Bài 4: CM rằng với mọi n thuộc Z thì:
n(n+5)-(n-3)(n+2) chia hết cho 6.
Bài 5: CM rằng với mọi số nguyên a giá trị của biểu thức:
a(a-1)-(a+3)(a+2) chia hết cho 6.
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách hợp lí:
A=x^5-100x^4+100x^3-100x^2+100x-9 tại x=99.
5. Ta có: a(a - 1) - (a + 3)(a + 2) = a2 - a - a2 - 2a - 3a - 6
= -6a - 6 = -6(a + 1) \(⋮\)6
<=> -6(a + 1) \(⋮\)6 \(\forall\)a \(\in\)Z
<=> a(a - 1) - (a + 3)(a + 2) \(⋮\) 6 \(\forall\)a \(\in\)Z
6. Thay x = 99 vào biểu thức A, ta có:
A = 995 - 100.994 + 100. 993 - 100.992 + 100 . 99 - 9
A = 995 - (99 + 1).994 + (99 + 1).993 - (99 + 1).992 + (99 + 1).99 - 9
A = 995 - 995 - 994 + 994 + 993 - 993 - 992 + 992 + 99 - 9
A = 99 - 9
A = 90
Vậy ....
Bài 3:
(3x-1)(2x+7)-(x+1)(6x-5)=16.
=> 6x2+21x-2x-7-(6x2-5x+6x-5)=16
=> 6x2+21x-2x-7-6x2+5x-6x+5=16
=> 18x-2=16
=> 18x=16+2
=> 18x=18
=> x=1
Bài 4:
ta có : \(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)=n^2+5n-\left(n^2+2n-3n-6\right)\)
\(=n^2+5n-n^2-2n+3n+6\)
\(=6n+6=6\left(n+1\right)⋮6\)
⇔6(n+1) chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên
⇔n(n+5)−(n−3)(n+2) chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên
vậy n(n+5)−(n−3)(n+2) chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên (đpcm)
Bài 6:
\(A=x^5-100x^4+100x^3-100x^2+100x-9\)
\(\Rightarrow A=x^5-\left(99+1\right)x^4+\left(99+1\right)x^3-\left(99+1\right)x^2+\left(99+1\right)x-9\)
\(\Rightarrow A=x^5-99x^4-x^4+99x^3+x^3-99x^2-x^2+99x+x-9\)
\(\Rightarrow A=\left(x^5-99x^4\right)-\left(x^4-99x^3\right)+\left(x^3-99x^2\right)-\left(x^2-99x\right)+x-9\)
\(\Rightarrow A=x^4\left(x-99\right)-x^3\left(x-99\right)+x^2\left(x-99\right)-x\left(x-99\right)+x-9\)
\(\Rightarrow A=\left(x-99\right)\left(x^4-x^3+x^2-x\right)+x-9\)
Thay 99=x, ta được:
\(A=\left(x-x\right)\left(x^4-x^3+x^2-x\right)+x-9\)
\(\Rightarrow A=x-9\)
Thay x=99 ta được:
\(A=99-9=90\)
TL:
bài 4:
<=>n^2+5n-n^2-2n+3n+6
<=>6n+6
<=>6(n+1)
mà 6(n+1)\(⋮\) 6
=>n(n+5)-(n-3)(n+2)\(⋮\) 6(đpcm)
Bài 4: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. I, K lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AM vuông góc với IK
Bài 5: Hình thang vuông ABCD, góc A= góc B= 90 độ, AB= AD= CD/2. E thuộc AB; EF vuông góc với DE ( F thuộc DC ). Chứng minh rằng: ED= EF
Bài 1:
1) Tính nhanh:
d) D= 100^2+ 103^2+ 105^2+ 94^2- ( 101^2+ 98^2+ 96^2+ 107^2 )
2)Rút gọn và tính giá trị của biểu thức:
b) (x-2)^3-(x-2)(x^2+2x+4)+6(x-2)(x+2)-x(x-1) tại x= 101
c) (x+1)^3-(x+3)(x^2-3x+9)+3(2x-1)^2 tại x= -2
Bài 11: Xác định đa thức f(x) biết f(x) chia hết cho (x-2) dư 5, f(x) chia cho (x-3) dư 7, f(x) chia cho (x-3)(x-2) được thương x^2-1 và có dư
Bài 12: Tìm x tự nhiên sao cho:
a) Giá trị biểu thức x^3+2x-x^2+7 chia hết cho giá trị biểu thức (x^2+1)
b) Giá trị đa thức ( 2x^4-3x^3-x^2+5x-4) chia hết cho giá trị đa thức (x-3)
Bài 13: Tìm x thuộc Z để giá trị biểu thức 8x^2-4x+1 chia hết cho giá trị biểu thức 2x+1
Bài 14: Chứng minh rằng:
a) a^3-a chia hết cho 24a với a là số nguyên tố lớn hơn 3
b) n(2n+1)(7n+1) chia hết cho 6 với mọi n thuộc Z
c) n^3-13n chia hết cho 6 với mọi n thuộc Z
d) a^5-a chia hết cho 30 với mọi a thuộc Z
1.Chứng minh rằng biểu thức n(2n-3)-2n(n+1)luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n. 2.Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4.Chứng minh rằng a2chia cho 5 dư 1.
Bài 1:
Ta có:
\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=2n^2-3n-\left(2n^2-2n\right)\\ =2n^2-3n-2n^2+2n=5n\)
Vì \(5⋮5\) nên \(5n⋮5\)
Do đó \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)⋮5\) (đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!
Bài 2:
Theo bài ra ta có:
\(a=5k+4\)
\(\Rightarrow a^2=\left(5k+4\right)^2=25k^2+40k+16\)
Vì \(25⋮5;40⋮5\) ; 16 chia cho 5 dư 1 nên
\(25k^2+40k+16\) chia cho 5 dư 1
Do đó \(a^2\) chia cho 5 dư 1 (đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!
Bài 1 :
\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)
\(=2n^2-3n-2n^2-2n\)
\(=-3n-2,=-5n⋮5\)
\(\Rightarrow n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)⋮5\rightarrowđpcm\)
Bài 2 :
ta có :
a chia 5 dư 4 \(\Rightarrow a=5k+4\left(k\in N\right)\)
\(\Rightarrow a^2=\left(5k+1\right)\left(5k+1\right)\)
\(=5k\left(5k+4\right)+4\left(5k+4\right)\)
\(=\left(5k+4\right).5k+5.4k+3.5+1\) chia 5 dư 1
\(\Leftrightarrow a^2\) chia 5 dư 1 \(\rightarrowđpcm\)
1) Cho 2 số tự nhiên a và b, biết 2 chia cho 6 dư 2 và b chia cho 6 dư 3. . Chứng minh rằng ab chia hết cho 6.
2) Cho a và b là 2 sớ tự nhiên, biết a chia cho 5 dư 2 và b chia cho 5 dư 3 . Chứng minh rằng ab chia cho 5 dư 1.
3) Cho 2 số tự nhiên a và b, biết a chia cho 6 dư 3 và ab chia hết cho 6. . Hỏi b chia cho 6 có số dư là bao nhiêu? Chứng minh.
4) Chứng minh rằng: n (2n - 3) - 2n (n + 1) luôn chia hết cho 5 với n là số tự nhiên.
5) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n biểu thức (n - 1) (n + 4) - (n - 4) (n + 1) luôn chia hết cho 6.
Cho a là số tự nhiênchia 6 dư 2 và b là số tự nhiên chia 6 dư 3. Chứng minh axb chia hết cho 6
1, Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý:
A=(1)/(2)-(2)/(5)+(1)/(3)+(5)/(7)-(-1)/(6)+(-4)/(35)+(1)/(41)
2, Chứng minh rằng:
a, 1+4+4^2+4^3+...+4^99 chia hết cho 5
b, 3^n+2-2^n+2+3^n-2^n chia hết cho 10 (với n thuộc N*)
1. \(A=\frac{1}{2}-\frac{2}{5}+\frac{1}{3}+\frac{5}{7}-\frac{-1}{6}+\frac{-4}{35}+\frac{1}{41}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{2}{5}+\frac{1}{3}+\frac{5}{7}+\frac{1}{6}-\frac{4}{35}+\frac{1}{41}\)
\(=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)-\left(\frac{2}{5}-\frac{5}{7}+\frac{4}{35}\right)+\frac{1}{41}\)
\(=\left(\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\right)-\left(\frac{-11}{35}+\frac{4}{35}\right)+\frac{1}{41}\)\(=1-\frac{-7}{35}+\frac{1}{41}=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{41}=\frac{251}{205}\)
2. a) \(1+4+4^2+4^3+......+4^{99}=\left(1+4\right)+\left(4^2+4^3\right)+.......+\left(4^{98}+4^{99}\right)\)
\(=\left(1+4\right)+4^2\left(1+4\right)+.........+4^{98}\left(1+4\right)\)
\(=5+4^2.5+........+4^{98}.5=5\left(1+4^2+.....+4^{98}\right)⋮5\)( đpcm )
b) \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=\left(3^{n+2}+3^n\right)-\left(2^{n+2}+2^n\right)\)
\(=3^n\left(3^2+1\right)-2^n\left(2^2+1\right)=3^n\left(9+1\right)-2^n\left(4+1\right)\)
\(=3^n.10-2^n.5=3^n.10-2^{n-1+1}.5=3^n.10-2^{n-1}.2.5\)
\(=3^n.10-2^{n-1}.10=10\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\)( đpcm )
1. a, Cho B = 3 + 3^3 + 3^5 +...+ 3^1991. Chứng minh rằng: B chia hết cho 3 ; B chia hết cho 41
b, Chứng minh rằng: (99^5 - 98^4 - 97^3 - 96^3) chia hết cho 2, cho 5.
c, A = 999993^1999 - 555557^1997. Chứng minh: A chia hết cho 5.
d, A = 8n + 111..1 ( n chữ số 1 ). Chứng minh: A chia hết cho 9.
e, Cho ( abc + deg ) chia hết cho 37. Chứng minh: abcd chia hết chio 37.
2. Tìm 2 số biết rằng tổng của chúng gấp 7 lần hiệu của chúng, còn tích của chúng gấp 192 lần hiệu của chúng.
3. Tìm số nhỏ hơn 100, biết rằng khi chia số đó cho 5 thì được dư là 3, chia cho 11 dư 5.
1)
a)\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)
\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)
Vì \(3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)chia hết cho 3 nên \(B⋮3\)
\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)
\(\Leftrightarrow B=\left(3+3^3+3^5+3^7\right)+.....+\left(3^{1988}+3^{1989}+3^{1990}+3^{1991}\right)\)
\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6\right)+.....+3^{1988}\left(1+3^2+3^4+3^6\right)\)
\(\Leftrightarrow B=3.820+.....+3^{1988}.820\)
\(\Leftrightarrow B=3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\)
Vì \(3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\) chia hết cho 41 nên \(B⋮41\)
1 . Chứng minh rằng nếu a5 chia hết cho 5 thì a chia hết cho 5 .
2 . Chứng minh rằng nếu tích 5 số bằng 1 thì tổng của chúng không thể bằng 0 .
3 . Chứng minh rằng tồn tại một giá trị n thuộc N* sao cho n2 + n + 1 không phải lá số nguyên tố .
4 Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n2 - 1 chia hết cho 24 .
1.Áp dụng định lý Fermat nhỏ.
1) \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)
Vì \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮5\)( tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)
và \(5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)
=> \(a^5-a⋮5\)
Nếu \(a^5⋮5\)=> a chia hết cho 5
Cách 2
\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Do a nguyên nên a có 5 dạng:\(5k;5k+1;5k+2;5k+3;5k+4\)
Nếu \(a=5k\Rightarrow a^5-a=5k\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)
Nếu \(a=5k+1\Rightarrow a^5-a=a\cdot5k\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)
Nếu \(a=5k+2\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(25k^2+20k+5\right)⋮5\)
Nếu \(a=5k+3\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(25k^2+30k+10\right)⋮5\)
Nếu \(a=5k+4\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(5k+5\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)
Vậy \(a^5-a⋮5\)