a: \(A=2019\cdot2021=2020^2-1\)

\(B=2020^2\)

Do đó: A<B

Ta có: 
A=1/3 - 2/3^2+3/3^3 - 4/3^4+ ... - 100/3^100 
=>3A=1 -2/3 +3/3^2 - 4/3^3+ ... - 100/3^99 
=>4A=A+3A=1-1/3+1/3^2-1/3^3+...-1/3^99 - 100/3^100 
=>12A=3.4A=3-1+1/3-1/3^2+...-1/3^98 - 100/3^99 

=>16A=12A+4A=3-1/3^99-100/3^99-100/3^1... 
<=>16A=3-101/3^99-100/3^100 
<=>A=3/16-(101/3^99+100/3^100)/16 < 3/16 
Suy ra A<3/16

rắc rối quá bạn ạ

đúng rùi nhưng cô lại chữa rùi

Bài 2: 

Ta có: 2a²+2b²=(a²+2ab+b²)+(a²-2ab+b²)

                        =(a+b)²+(a-b)² là tổng 2 số chính phương

⇒2a²+2b² là tổng của 2 số chính phương(đpcm)

a) $A=3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+....+3^{28}+3^{29}+3^{30}$

$\iff A=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+....+\left(3^{28}+3^{29}+3^{30}\right)$

$\iff A=3\left(1+3+3^2\right)+3^4\left(1+3+3^2\right)+....+3^{28}\left(1+3+3^2\right)$

$\iff A=3.13+3^4.13+....+3^{28}.13$

$\iff A=13\left(3+3^4+....+3^{28}\right)⋮13\left(dpcm\right)$

b) $A=3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+....+3^{25}+3^{26}+3^{27}+3^{28}+3^{29}+3^{30}$

$\iff A=\left(3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6\right)+....+\left(3^{25}+3^{26}+3^{27}+3^{28}+3^{29}+3^{30}\right)$

$\iff A=3\left(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5\right)+....+3^{25}\left(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5\right)$

$\iff A=3.364+....+3^{25}.364$

$\iff A=364\left(3+3^5+3^{10}+....+3^{25}\right)$

$\iff A=52.7\left(3+3^5+3^{10}+....+3^{25}\right)⋮52\left(dpcm\right)$

Gọi A là số chính phương A = n² (n ∈ N)

a)Xét các trường hợp:

n= 3k (k ∈ N) ⇒ A = 9k² chia hết cho 3

n= 3k 1  (k ∈ N) A = 9k²  6k +1 chia cho 3 dư 1

Vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.

+Ta đã sử tính chia hết cho 3 và số dư trong phép chia cho 3 .

b)Xét các trường hợp

n =2k (k ∈ N) ⇒ A= 4k², chia hết cho 4.

n= 2k+1(k ∈ N) ⇒ A = 4k² +4k +1

= 4k(k+1)+1,

chia cho 4 dư 1(chia cho 8 cũng dư 1)

vậy số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.

+Ta đã sử tính chia hết cho 4 và số dư trong phép chia cho 4 .

     Chú ý: Từ bài toán trên ta thấy:

-Số chính phương chẵn chia hết cho 4

-Số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1( chia cho 8 cũng dư 1).

bạn à câu C hình như bạn viết thiếu đề

Bài 1 :

a) \(a.b+b.19=713\) \(\left(a;b\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow b.\left(a+19\right)=713\)

\(\Rightarrow\left(a+19\right);b\in\left\{1;23;31;713\right\}\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)\in\left\{\left(-18;713\right);\left(4;31\right);\left(12;23\right);\left(694;1\right)\right\}\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)\in\left\{\left(4;31\right);\left(12;23\right);\left(694;1\right)\right\}\left(a;b\inℕ^∗\right)\)

b) \(a.b-10.b=650\)

\(\Rightarrow b.\left(a-10\right)=650\)

\(\Rightarrow\left(a-10\right);b\in\left\{1;5;10;13;25;26;50;65;130;325;650\right\}\)

Bạn lập bảng sẽ tìm ra (a;b)...

Bài 2 :

a) \(3^4+3^5+3^6+3^7=3^4\left(1+3+3^2+3^3\right)=3^4.40\)

b) \(B=1+3+3^2+3^3+...+3^{99}\)

\(\Rightarrow B=\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4.\left(1+3+3^2+3^3\right)...+3^{96}.\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(\Rightarrow B=40+3^4.40...+3^{96}.40\)

\(\Rightarrow B=40\left(1+3^4...+3^{96}\right)⋮40\)

\(\Rightarrow dpcm\)

\(a=111...1=\frac{10^{2n}-1}{9}=\frac{10^{2n}}{9}-\frac{1}{9}\)

\(b=222...2=\frac{2\left(10^n-1\right)}{9}=\frac{2.10^n}{9}-\frac{2}{9}\)

\(a-b=\frac{10^{2n}}{9}-\frac{1}{9}-\frac{2.10^n}{9}+\frac{2}{9}=\left(\frac{10^n}{3}\right)^2-2.\frac{10^n}{3}.\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2=\)

\(=\left(\frac{10^n}{3}-\frac{1}{3}\right)^2\) Là 1 số chính phương