cho điểm m nằm ngoài đường tròn (O;R).Kẻ các tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) (A,B là các tiếp điểm ).Vẽ đường kính AD của đường tròn(O).Gọi H là giao điểm của MO và AB.
a/Chứng minh rằng :MO vuông góc AB tại H
b/Cho biết R = 15 cm và MO = 25 cm .Tính độ dài đoạn OH.
c/ Gọi G là giao điểm của BD và AM .Chứng minh :AM = MG.
d/ Gọi I là giao điểm của tia OM và đường tròn (O). Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB . Tính độ dài đoạn thẳng BD theo R ,r với r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
a: Xét (O) có
MA là tiếp tuyến
MB là tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
hay M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
nên O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO\(\perp\)AB
) Cho (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA; MB với đường tròn (A,B là tiếp điểm). MO cắt AB tại H. Vẽ đường kính AC của đường tròn, MC cắt đường tròn tại điểm thứ hai là N.
a) Chứng minh MO vuông góc với AB
b) Gọi I là trung điểm của NC, OI cắt AB tại K. Chứng minh OI.OK = R2 và KC là tiếp tuyến của (O)
a: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó; MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
b: Ta có: ΔONC cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI\(\perp\)NC tại I
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(OH\cdot OM=OA^2\)
=>\(OH\cdot OM=R^2\)
Xét ΔOIM vuông tại I và ΔOHK vuông tại H có
\(\widehat{IOM}\) chung
Do đó: ΔOIM đồng dạng với ΔOHK
=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{OK}\)
=>\(OI\cdot OK=OH\cdot OM=R^2\)
=>\(OI\cdot OK=OC\cdot OC\)
=>\(\dfrac{OI}{OC}=\dfrac{OC}{OK}\)
Xét ΔOIC và ΔOCK có
\(\dfrac{OI}{OC}=\dfrac{OC}{OK}\)
\(\widehat{IOC}\) chung
Do đó: ΔOIC đồng dạng với ΔOCK
=>\(\widehat{OIC}=\widehat{OCK}\)
=>\(\widehat{OCK}=90^0\)
=>KC là tiếp tuyến của (O)
Cho đường tròn (O; R) cố định. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AB.
a) Chứng minh OM vuông góc với AB và OH.OM = R2
b) Từ M kẻ cát tuyến MNP với đường tròn (N nằm giữa M và P), gọi I là trung điểm của NP (I khác O). Chứng minh 4 điểm A, M, O, I cùng thuộc một đường tròn và tìm tâm của đường tròn đó
c) Qua N kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), cắt MA và MB theo thứ tự ở C và D. Biết MA = 5cm, tính chu vi tam giác MCD.
d) Qua O kẻ đường thẳng d vuông góc với OM, cắt tia MA và MB lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất.
Cho đường tròn (O:R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho MO=2R. Từ M vẽ tiếp tuyến MA với (O); tia OM cắt đường tròn tại B a) Tính số đo cung AB b) Kẻ tiếp tuyến MC với (O). Chứng minh OM vuông góc với AC c) Gọi H là giao điểm của AC và OB. Chứng minh HA.HC=HB.HM d) Chứng minh OABC là hình thoi
a: Xét ΔOAM vuông tại A có cosAOM=OA/OM=1/2
nên góc AOM=60 độ
=>góc AOB=60 độ
=>sđ cung AB=60 độ
b: Xét (O) có
MA,MC là tiếp tuyến
nên MA=MC
mà OA=OC
nên OM là trung trực của AC
=>OM vuông góc với AC
c: Xét ΔOAB có OA=OB và góc AOB=60 độ
nên ΔOAB đều
mà AH là đườg cao
nên H là trung điểm của OB
=>HO=HB
Vì MO là trung trực của AC
nên MO vuông góc AC tại H và H là trung điểm của AC
HA*HC=HA^2
HO*HM=HA^2
=>HA*HC=HO*HM
=>HA*HC=HB*HM
d: Xét ΔOBC có OB=OC và góc BOC=60 độ
nên ΔBCO đều
=>OB=OC=BC=OA=AB
=>OA=AB=BC=OC
=>OABC là hình thoi
Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A,B là tiếp điểm). MO cắt AB tại I. Kẻ đường kính BC của đường tròn, MC cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.
a, Chứng minh I là trung điểm AB
b, Chứng minh MA²=MK.MC và ∆MKI đồng dạng với ∆MOC
c, Lấy điểm D trên cung lớn AB (DB<DA), kẻ BH⊥AD tại H. Gọi E là giao điểm của MO với (O). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc ED cắt tia BH tại P. Chứng minh BP.OA=HP.OM
Cho (O, R) và M nằm ngoài đường tròn (0) sao cho OM = 2R. Kẻ MA, MB là hai tiếp tuyến với (O) ( A, B là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM với AB. 1) Chứng minh: OM vuông góc AB tại H. 2) Chứng minh: MH • MO = 3R^2 3) Chứng minh: tam giác MAB là tam giác đều. 4) MO cắt (O) lần lượt tại I và K (I nằm giữa M và K ). Chứng minh: AI là phân giác của MAH và MH • MO = MI • MK.
1: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó:MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
2: Ta có: ΔOAM vuông tại A
=>\(AO^2+AM^2=OM^2\)
=>\(AM^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)
Xét ΔAMO vuông tại A có AH là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MA^2\)
=>\(MH\cdot MO=3R^2\)
3:
Xét ΔOAM vuông tại A có \(sinAMO=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{1}{2}\)
nên \(\widehat{AMO}=30^0\)
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MO là phân giác của góc AMB
=>\(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{AMO}=2\cdot30^0=60^0\)
Xét ΔMAB có MA=MB và \(\widehat{AMB}=60^0\)
nên ΔMAB đều
4: Xét (O) có
\(\widehat{MAI}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AI
\(\widehat{IKA}\) là góc nội tiếp chắn cung AI
Do đó: \(\widehat{MAI}=\widehat{IKA}\)
Xét ΔMAI và ΔMKA có
\(\widehat{MAI}=\widehat{MKA}\)
\(\widehat{AMI}\) chung
Do đó: ΔMAI đồng dạng với ΔMKA
=>\(\dfrac{MA}{MK}=\dfrac{MI}{MA}\)
=>\(MA^2=MI\cdot MK\)
mà \(MA^2=MH\cdot MO\)
nên \(MI\cdot MK=MH\cdot MO\)
Ta có: \(\widehat{MAI}+\widehat{OAI}=\widehat{OAM}=90^0\)
\(\widehat{HAI}+\widehat{OIA}=90^0\)(ΔAHI vuông tại H)
mà \(\widehat{OAI}=\widehat{OIA}\)(ΔOAI cân tại O)
nên \(\widehat{MAI}=\widehat{HAI}\)
=>AI là phân giác của góc MAH
Từ điểm M ngoài đường tròn (O,R) kẻ tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O) (A,B là tiếp điểm ).
a) Chứng minh OM là trung trực của AB.
b) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O).Chứng minh AD//MO.
c) Gọi N là giao điểm của MO với đường tròn (O) (N nằm giữa M và O). Đường thẳng BN cắt đường thẳng DA tại E. Gọi K là giao điểm của AB với DN. Chứng minh EK vuông góc BD.
Cho đường tròn o , điểm M nằm ngoài đường tròn . kẻ các tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (B,C là các tiếp điểm) a,Chứng minh ∆AMB cân b,Cho góc AMB=60°.Tính gócAOB c,Chứng minh MO vuông góc AB
a: Xét (O) có
MA,MB là tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>ΔMAB cân tại M
b: Xét tứ giác OAMB có
\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}+\widehat{AMB}+\widehat{AOB}=360^0\)
=>\(\widehat{AOB}+60^0+90^0+90^0=360^0\)
=>\(\widehat{AOB}+240^0=360^0\)
=>\(\widehat{AOB}=120^0\)
c: ta có: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB
Câu 4: (3,0 điểm). Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H. a/ Tính OH. OM theo R. b/ Chứng minh: Bốn điểm M, A, I , O cùng thuộc một đường tròn. c/ Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
a: OH*OM=OA^2=R^2
b: ΔOCD cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI vuông góc với CD
Xét tứ giác OIAM có
góc OIM=góc OAM=90 độ
nên OIAM là tứ giác nội tiếp
c: Xét ΔOHK vuông tại H và ΔOIM vuông tại I có
góc HOK chung
Do đo: ΔOHK đồng dạng với ΔOIM
=>OH/OI=OK/OM
=>OI*OK=OH*OM=R^2=OC^2
mà CI vuông góc với OK
nên ΔOCK vuông tại C
=>KC là tiếp tuyến của (O)
