Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {OA} ,\;\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OB}= \overrightarrow {AC}  \)

Khi đó: Hợp lực \(\overrightarrow F \)  là \(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \).

Áp dụng định lí cosin cho tam giác OAC, ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\;\;\;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \;O{C^2} = O{A^2} + A{C^2} - 2.OA.AC.\cos A}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow O{C^2} = O{A^2} + A{C^2} - 2.OA.AC.\cos ({180^o} - \alpha )\\
\Leftrightarrow O{C^2} = O{A^2} + A{C^2} + 2.OA.AC.\cos \alpha
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left| {\vec F} \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2} + 2.\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \alpha } }
\end{array}\)

 Gọi v1 là vận tốc tàu khách, v2 là vận tốc tàu hàng. 
+ Trường hợp hai tàu chạy ngược chiều: 
* Vận tốc tàu khách so với tàu hàng là v1' = v2 + v1 
* Chọn gốc tọa độ ở tàu hàng (lấy tàu hàng làm chuẩn), vận tốc tàu hàng v2' = 0, v1' = v2+v1 
* Thời gian để đầu tàu khách chạy từ đầu tàu hàng đến đuôi tàu hàng: t1 = 300/ v2' = 300/(v2+v1) 
* Thời gian từ lúc đuôi tàu hàng gặp đầu tàu khách đến lúc đuôi tàu hàng gặp đuôi tàu khách: t2 = 200/v2' = 200/(v2+v1) 
=> Tổng thời gian trong trường hợp 1 là t = t1 + t2 = 20 = 300/(v1+v2) + 200/ (v1+v2) 
=> v1 + v2 = 25 (m/s). (1) 
+ Trường hợp hai toa tàu đi cùng chiều 
* Do tàu khách vượt qua được tàu hàng (tàu khách nhanh hơn tàu hàng) nên v1>v2. 
* Lấy tàu hàng làm chuẩn, khi đó vận tốc tàu hàng v2' = 0 
* Vận tốc tàu khách so với tàu hàng là v1' = v1 - v2. 
* Thời gian từ lúc đầu tàu khách gặp đuôi tàu hàng cho đến lúc đầu tàu khách gặp đầu tàu hàng: t1 = 300/(v1 - v2). 
* Thời gian từ lúc đầu tàu hàng gặp đầu tàu khách cho đến lúc đầu tàu hàng gặp đuôi tàu khách: t2 = 200/(v1 -v2). 
=> Thời gian trong trường hợp 2 là t = 100= t1 + t2 = 500/(v1-v2) => v1 - v2 = 5 m/s. (2) 
Giải phương trình (1) và (2) ta được: 
v1 = 15 m/s 
v2 = 10 m/s

Gọi v₁ là vận tốc tàu khách, v₂ là vận tốc tàu hàng.
+ Trường hợp hai tàu chạy ngược chiều:
* Vận tốc tàu khách so với tàu hàng là v_1' = v₂ + v₁
* Chọn gốc tọa độ ở tàu hàng (lấy tàu hàng làm chuẩn), vận tốc tàu hàng v_2' = 0, v_1' = v₂+v₁
* Thời gian để đầu tàu khách chạy từ đầu tàu hàng đến đuôi tàu hàng: t₁ = \(\dfrac{300}{v2'}\) = \(\dfrac{300}{v_1+v_2}\)
* Thời gian từ lúc đuôi tàu hàng gặp đầu tàu khách đến lúc đuôi tàu hàng gặp đuôi tàu khách: t₂ = \(\dfrac{200}{v2'}\) = \(\dfrac{200}{v_1+v_2}\)

=> Tổng thời gian trong trường hợp 1 là t = t₁ + t₂ = 20 = \(\dfrac{300}{v_1+v_2}\) + \(\dfrac{200}{v_1+v_2}\)
=> v₁ + v₂ = 25 (m/s). (1)
+ Trường hợp hai toa tàu đi cùng chiều
* Do tàu khách vượt qua được tàu hàng (tàu khách nhanh hơn tàu hàng) nên v₁>v₂.
* Lấy tàu hàng làm chuẩn, khi đó vận tốc tàu hàng v_2' = 0
* Vận tốc tàu khách so với tàu hàng là v_1' = v₁ - v₂.
* Thời gian từ lúc đầu tàu khách gặp đuôi tàu hàng cho đến lúc đầu tàu khách gặp đầu tàu hàng: t₁ = \(\dfrac{300}{v_1-v_2}\)
* Thời gian từ lúc đầu tàu hàng gặp đầu tàu khách cho đến lúc đầu tàu hàng gặp đuôi tàu khách: t₂ = \(\dfrac{200}{v_1-v_2}\)
=> Thời gian trong trường hợp 2 là t = 100= t₁ + t₂ = \(\dfrac{500}{v_1-v_2}\)

=> v₁ - v₂ = 5 m/s. (2)
Giải phương trình (1) và (2) ta được:
v₁+v₂-(v₁-v₂)=25-5=20(m/s)

=>2v₂=20(m/s)

=>v₂=10(m/s)

mà v₁-v₂=5(m/s)

=>v₁=v₂+5=10+5=15(m/s)

Vậy Vận tốc tàu 1 là 15(m/s) còn tàu 2 là 10(m/s)

Ta thấy hai hướng đông và tây là ngược nhau và tỉ số độ dài \(\frac{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{50}}{{20}} = \frac{5}{2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow b  =  - \frac{5}{2}\overrightarrow a \)

Tham khảo:

a)

Gọi \(A,{A_1},{A_2}\) lần lượt là công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \), \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \).

Ta cần chứng minh: \(A = {A_1} + {A_2}\)

Xét lực \(\overrightarrow F \), công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) là: \(A = \left| {\overrightarrow F } \right|.{\rm{ AB}}.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow F .\overrightarrow {AB} \)

Tương tự, ta có: \({A_1} = \overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {AB} \), \({A_2} = \overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow {AB} \)

Áp dụng tính chất của tích vô hướng ta có:

\({A_1} + {A_2} = \overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right).\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow F .\overrightarrow {AB}  = A\)

b)

Vì \(\overrightarrow {{F_2}} \)tương ứng vuông góc với phương chuyển động nên \(\overrightarrow {{F_2}}  \bot \overrightarrow {AB} \)

Do đó: công sinh bởi lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) là: \({A_2} = \overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow {AB}  = 0\)

Mà \(A = {A_1} + {A_2}\)

\( \Rightarrow A = {A_1}\)

Vậy công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) bằng công sinh bởi lực \(\overrightarrow {{F_1}} \).

Đề đã bị sửa : Ba tàu nhận chở một khối lượng hàng,tàu thứ nhất chở 36% khối lượng hàng cả ba tàu nhận chở,tàu thứ hai chở 40 tấn hàng và bằng 2/5 khối lượng hàng cả ba tàu nhận chở. Tính khối lượng hàng cả ba tàu nhận chở

Khối lượng hàng cả 3 tàu nhận chở là :

    40 : 2/5 = 100 tấn

Vậy...........................................................................................................

Sự khác biệt giữa hai đại lượng đã cho là:

- Khối lượng của hàng là đại lượng chỉ có độ lớn vì hàng trên tàu có khối lượng 500 tấn. Ta gọi đại lượng dạng này là đại lượng vô hướng.

- Độ dịch chuyển của tàu là đại lượng bao gồm cả độ lớn và hướng vì con tàu có độ dịch chuyển dài 500 km theo hướng từ A đến B.

Ta gọi đại lượng dạng này là đại lượng có hướng.

Sự khác biệt là:

-   Đơn vị đo: tấn và 500.

-   Khối lượng hàng là đại lượng chỉ có độ lớn (500 tấn), còn độ dịch chuyển của tàu là đại lượng có cả độ lớn (500 km) và hướng (từ A đến B).

Tham khảo:

Bước 1: Đặt \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}} \). Ta xác định các điểm như hình dưới.

Dễ dàng xác định điểm C, là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD. Do đó vecto \(\overrightarrow u \) chính là vecto \(\overrightarrow {AC} \)

Vì chất điểm A ở trang thái cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  + \;\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0 \) hay \(\;\overrightarrow u  + \;\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \;\overrightarrow u \) và \(\;\overrightarrow {{F_3}} \) là hai vecto đối nhau.

\( \Leftrightarrow A\) là trung điểm của EC.

Bước 2:

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = AD = 20,\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = AB,\;\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = AC.\)

Do A, C, E thẳng hàng nên \(\widehat {CAB} = {180^o} - \widehat {EAB} = {60^o}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {CAD} = {90^o} - {60^o} = {30^o}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \frac{{AD}}{{\cos {{30}^o}}} = \frac{{40\sqrt 3 }}{3};\;\\AB = DC = AC.\sin {30^o} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \frac{{20\sqrt 3 }}{3},\;\;\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}.\)