a: Xét tứ giác ADBK có

M là trung điểm chung của AB và DK

=>ADBK là hình bình hành

=>AK=DB

mà DB=AC(ABCD là hình chữ nhật)

nên AK=AC

=>ΔAKC cân tại A

b: Xét ΔIAM có IE là phân giác

nên \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{IM}{IA}\)

mà IA=IK

nên \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{IM}{IK}\)

Xét ΔIMK có IF là phân giác

nên \(\dfrac{IM}{IK}=\dfrac{MF}{FK}\)

=>\(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{MF}{FK}\)

Xét ΔMAK có \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{MF}{FK}\)

nên EF//AK

Ta có: EF//AK

AK//BD(AKBD là hình bình hành)

Do đó: EF//BD

a.

Xét tứ giác ADBK có: hai đường chéo AB và DK cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường

\(\Rightarrow ADBK\) là hình bình hành

Do ABCD là hình chữ nhật \(\Rightarrow AB\perp BC\Rightarrow AB\) là đường cao tam giác ACK

Theo cmt, ADBK là hbh \(\Rightarrow BK=AD\)

Mà \(AD=BC\) (ABCD là hcn)

\(\Rightarrow BK=BC\Rightarrow AB\) là trung tuyến tam giác ACK

\(\Rightarrow AB\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên tam giác ACK cân tại A

b.

Do IE là phân giác, áp dụng định lý phân giác trong tam giác IAM:

\(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{IM}{IA}\) (1)

Do IF là phân giác, áp dụng định lý phân giác trong tam giác IMK:

\(\dfrac{FM}{FK}=\dfrac{IM}{IK}\) (2)

Mà I là trung điểm AK \(\Rightarrow IA=IK\) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{FM}{FK}\Rightarrow EF||AK\) (định lý Talet đảo)

Theo c/m câu a do ADBK là hình bình hành \(\Rightarrow AK||BD\)

\(\Rightarrow EF||BD\)

HS chứng minh IMNK là hình chữ nhật Þ IN = KM

b) O là trung điểm của BD mà ABCD là hình chữ nhật nên đường chéo thứ hai AC phải qua O.

Lại có tứ giác BMDN là hình bình hành nên MN phải đi qua trung điểm O của BD.

Vậy AC, BD, MN đồng quy tại O.