a) \(AH^2=HB.HC=50.8=400\)

\(\Rightarrow AH=20\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.20\left(50+8\right)=\dfrac{1}{2}.20.58\left(cm^2\right)\)

mà \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC\)

\(\Rightarrow AB.AC=20.58=1160\)

Theo Pitago cho tam giác vuông ABC :

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\left(AB+AC\right)^2-2AB.AC=BC^2\)

\(\Rightarrow\left(AB+AC\right)^2=BC^2+2AB.AC\)

\(\Rightarrow\left(AB+AC\right)^2=58^2+2.1160=5684\)

\(\Rightarrow AB+AC=\sqrt[]{5684}=2\sqrt[]{1421}\left(cm\right)\)

Chu vi Δ ABC :

\(AB+AC+BC=2\sqrt[]{1421}+58=2\left(\sqrt[]{1421}+29\right)\left(cm\right)\)

Xét ΔAHB vuông tại H có 

\(AB=\dfrac{AH}{\sin30^0}=6:\dfrac{1}{2}=12\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AC=12\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow BC=24\sqrt{3}\left(cm\right)\)

a: XétΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔHBA

b: \(AH=\sqrt{15^2-9^2}=12\left(cm\right)\)

BI là phân giác của góc ABH

=>IA/AB=IH/BH

=>IA/5=IH/3=(IA+IH)/(5+3)=12/8=1,5

=>IA=7,5cm; IH=4,5cm

c: góc BAK+góc CAK=90 độ

góc BKA+góc HAK=90 độ

mà góc CAK=góc HAK

nên góc BAK=góc BKA

=>BI vuông góc AK

Xet ΔBAK có

BI,AI là đường cao

=>I là trực tâm

=>IK vuông góc AB

=>IK//AC

\(\frac{AB}{AC}=\frac{5}{6}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{AB}{5}=\frac{AC}{6}=x\)  \(\left(x>0\right)\)

\(\Rightarrow\)\(AB=5x;\)\(AC=6x\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{9}=\frac{1}{25x^2}+\frac{1}{36x^2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{61}{900x^2}=\frac{1}{9}\)

\(\Rightarrow\)\(900x^2=549\)

\(\Rightarrow\)\(x=\sqrt{\frac{549}{900}}=\frac{\sqrt{61}}{10}\)

\(\Rightarrow\)\(AB=\frac{\sqrt{61}}{2}\);     \(AC=\frac{3\sqrt{61}}{5}\)

Áp dụng Pytago ta có:

    \(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\)   \(BC=61x^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BC=x\sqrt{61}\)

\(\Leftrightarrow\)\(BC=\frac{\sqrt{61}}{10}.\sqrt{61}=6,1\)

p/s: bạn tham khảo nhé, do số không đẹp nên có lẽ mk tính toán sai 1 số chỗ, bạn bỏ qua và ktra nhé, sai đâu ib mk

\(\frac{AB}{AC}=\frac{5}{6}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{AB}{5}=\frac{AC}{6}=x\)  \(\left(x>0\right)\)

\(\Rightarrow\)\(AB=5x;\)\(AC=6x\)

Áp dụng định lý Pytago ta có:

      \(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BC^2=61x^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BC=x\sqrt{61}\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

   \(AB.AC=AH.BC\)

\(\Leftrightarrow\)\(30x^2=3x\sqrt{61}\)

\(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{\sqrt{61}}{10}\)

Đến đây bạn  thay x vào các biểu thức tính AB,AC,BC ở trên nhé

Hình bạn tự vẽ nhé...

a)

Xét tam giác BAH và tam giác ABC , có :

A^ = H^ = 90O

B^ : góc chung

=> tam giác HAB ~ tam giác ACB ( g.g)

c) 

 ADĐL pitago vào tam giác vuông ABC , có :

AB² + AC² = BC²

=> 12² + 16⁶ = BC²

=> BC² = 400

=> BC = 20 cm

Vì tam giác ACB ~ tam giác HAB , nên ta có :

 AH/AC= AB/BC

=> AH/16=12/20

=> AH = 9,6 cm.

Áp dụng tslg:

\(\left\{{}\begin{matrix}sinC=\dfrac{AB}{BC}\\cosC=\dfrac{AC}{BC}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=sinC.BC=sin30^0.6=3\left(cm\right)\\AC=cosC.BC=cos30^0.6=3\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng HTL:

\(AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{3.3\sqrt{3}}{6}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\)