a: sin ACB=AH/AC

=>AH/AC=1/2

=>AH=4cm

b: sin ABC=2/3

=>AH/AB=2/3

=>AB=6cm

HB=căn 6^2-4^2=2căn  5cm

HC=căn 8^2-4^2=4căn  3cm

BC=HB+HC=2căn5+4căn3(cm)

S ABC=1/2*BA*BC*sinB

=1/2*1/2*6*(2căn5+4căn3)

=3(căn 5+2căn 3)

a: Xet ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

góc A chung

=>ΔADB đồng dạng vơi ΔAEC

=>AD/AE=AB/AC
=>AD*AC=AE*AB; AD/AB=AE/AC

b: Xét ΔADE và ΔABC có

AD/AB=AE/AC

góc DAE chung

=>ΔADE đồng dạng với ΔABC

c: \(DB=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

\(S_{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot6=12\left(cm^2\right)\)

a, Xét tam giác ADB và tam giác AEC có 

^ADB = ^AEC = 90⁰

^DAB _ chung 

Vậy tam giác ADB ~ tam giác AEC (g.g) 

b, \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AD.AC=AB.AE\)

c, \(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{DE}{BC}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\)

a: BC=10cm

b: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có 

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\)

Do đó: ΔHAB∼ΔHCA

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot sinA=\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot12\cdot sin30=24\left(cm^2\right)\)

\(S_{ABC}_{ }=\dfrac{1}{2}AB.AC.SinA=24dvdt\)

a) Xét ΔABC vuông tại A có \(\widehat{C}=30^0\)(gt)

mà cạnh đối diện với \(\widehat{C}\)

nên \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{2}\)(Định lí)

Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AB}{BC}\)(Tính chất tia phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{1}{2}\)

b) Ta có: \(BC=2\cdot AB\)(cmt)

nên \(BC=2\cdot12.5=25\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔBAC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=25^2-12.5^2=468.75\)

hay \(AC=\dfrac{25\sqrt{3}}{2}cm\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{12\cdot\dfrac{25\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{150\sqrt{3}}{2}=75\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)