Đặt BM = x (0 ≤ x ≤ 7) => MC = 7 - x. Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông ABM có

Thời gian đi từ A đến M là

thời gian đi từ M đến C là

Tổng thời gian đi từ A đến C là

Bảng biến thiên

Để người đó đến kho nhanh nhất thì thời gian đi cần ít nhất, tức t đạt giá trị nhỏ nhất. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy t đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 2√5 ≈ 4,5

Vậy vị trí điểm M cách B một khoảng là 4,5km thì người đó đến kho là nhanh nhất.

Chọn B

Đáp án B

Trước tiên ta xác định hàm số f(x) là hàm số tính thời gian người canh hải đăng phải đi.

Đặt BM= x , CM =7-x->  A M = x 2 + 25   . Theo đề ta có ngưới canh hải đăng chèo từ A đến M trên bờ biển với v = 4km/h rồi đi bộ đến C với v = 6 km/h

⇒ f ( x ) = x 2 + 25 4 + 7 − x 6 = 3 x 2 + 25 − 2 x + 14 12 với  x ∈ ( 0 ; 7 )

f ' ( x ) = 1 12 3 x x 2 + 25 − 2 f ' ( x ) = 0 ⇔ 3 x x 2 + 25 − 2 = 0 ⇔ 3 x − 2 x 2 + 25 = 0 ⇔ 2 x 2 + 25 = 3 x ⇔ 5 x 2 = 100 x ≥ 0 ⇔ x = ± 2 5 x ≥ 0 ⇔ x = 2 5

Vậy đoạn đường ngắn nhất thì giá trị phải nhỏ nhất

f ( 0 ) = 29 12 f ( 2 5 ) = 14 + 5 5 12 f ( 7 ) = 74 4

Vậy giá trị nhỏ  nhất của f(x) là 14 + 5 5 12 tại x= 2 5

Nên thời gian đi ít nhât là BM= x = 2 5

Đáp án B

Trước tiên ta xác định hàm số f(x) là hàm số tính thời gian người canh hải đăng phải đi.

Đặt BM= x , CM =7-x ⇒ A M = x 2 + 25 . Theo đề ta có ngưới canh hải đăng chèo từ A đến M trên bờ biển với v = 4km/h rồi đi bộ đến C với v = 6 km/h

  ⇒ f ( x ) = x 2 + 25 4 + 7 − x 6 = 3 x 2 + 25 − 2 x + 14 12 với  x ∈ ( 0 ; 7 )

f ' ( x ) = 1 12 3 x x 2 + 25 − 2 f ' ( x ) = 0 ⇔ 3 x x 2 + 25 − 2 = 0 ⇔ 3 x − 2 x 2 + 25 = 0 ⇔ 2 x 2 + 25 = 3 x ⇔ 5 x 2 = 100 x ≥ 0 ⇔ x = ± 2 5 x ≥ 0 ⇔ x = 2 5

Vậy đoạn đường ngắn nhất thì giá trị phải nhỏ nhất

f ( 0 ) = 29 12 f ( 2 5 ) = 14 + 5 5 12 f ( 7 ) = 74 4

Vậy giá trị nhỏ  nhất của f(x) là  14 + 5 5 12   tại x=  2 5

Nên thời gian đi ít nhât là BM= x =  2 5

Gọi BM=x km (0<x<7)

=> MC=7-x (km)

Ta có: \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} \)\( = \sqrt {16 + {x^2}} \left( {km} \right)\)

Thời gian từ A đến M là: \(\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3}\left( h \right)\)

Thời gian từ M đến C là: \(\frac{{7 - x}}{5}\left( h \right)\)

Tổng thời gian từ A đến C là 148 phút nên ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 - x}}{5} = \frac{{148}}{{60}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 - x}}{5} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow \frac{{5\sqrt {16 + {x^2}} }}{{15}} + \frac{{3.\left( {7 - x} \right)}}{{15}} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}}  + 3.\left( {7 - x} \right) = 37\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}}  = 16 + 3x\\ \Leftrightarrow 25.\left( {16 + {x^2}} \right) = 9{x^2} + 96x + 256\\ \Leftrightarrow 16{x^2} - 96x + 144 = 0\\ \Leftrightarrow x = 3\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy khoảng cách từ vị trí B đến M là 3 km.

Đáp án A

Phương pháp:  Sử dụng phương pháp hàm số.

Cách giải: Gọi độ dài đoạn MB là x 

Tam giác ABM vuông tại B => 

Thời gian người đó đi từ A tới C: 

Xét hàm số f(x) 

=> x =  2 5

Vậy, để người đó đến C nhanh nhất thì khoảng cách từ B đến M là  2 5

Gọi v₁ là vận tốc thuyền máy so với nước. v₂ là vận tốc nước so với bờ, v₃ là vận tốc thuyền chèo so với nước, S là chiều dài quãng đường AB

a) Thuyền chèo chuyển động xuôi dòng từ A đến B thì thuyền máy chuyển động xuôi dòng từ A đến B hai lần và một lần chuyển động một lần từ B đến A.

Thời gian chuyển động của 2 thuyền bằng nhau ta có :

\(\frac{S}{v_3+v_2}=\frac{2S}{v_1+v_2}+\frac{S}{v_1-v_2}\Leftrightarrow\frac{1}{v_3+4}=\frac{2}{24+2}=\frac{1}{24-4}\)

\(\Leftrightarrow v_3=4,24\) (km/giờ)

b) Thời gian chuyển động xuôi dòng của thuyền máy từ A đến B là :

\(t_1=\frac{S}{v_1+v_2}=\frac{14}{24+4}=0,5\) giờ

Trong thời gian này thuyền chèo đã đến C.

\(Ac=S_1=\left(v_2+v_3\right)t_1=\left(4+4,24\right)0,5=4,12\)( km)

Chiều dài CB là \(S_2=S-S_1=14-4,12=9,88\) (km)

Trên quãng đường S₂ 2 thuyền gặp nhau tại D.

Thời gian đi tiếp để 2 thuyền gặp nhau tại D là :

\(t_2=\frac{S_2}{\left(v_2+v_3\right)+\left(v_1-v_2\right)}=\frac{9,88}{\left(4,24+4\right)+\left(24-4\right)}=0,35\) giờ

Quãng đường để thuyền máy đi từ B đến A gặp thuyền chèo tại D.

\(BD=S_3=\left(v_1-v_2\right)t_2=\left(24-4\right)0,35=7\) (km)

Không kể 2 bến A và B hai thuyền gặp nhau tại D cách B 7 km , cũng cách A 7km